专题6.1 平面向量的概念【五大题型】-2023-2024学年高一数学举一反三系列（人教A版2019必修第二册）

专题6.1 平面向量的概念【五大题型】 【人教A版（2019）】 【题型1 向量概念的理解】 2 【题型2 零向量与单位向量】 2 【题型3 向量的几何表示与向量的模】 3 【题型4 向量相等或共线的判断】 5 【题型5 用向量关系研究几何图形的性质】 7 【知识点1 向量的概念】 1．向量的概念 (1)向量:既有大小又有方向的量叫做向量. (2)数量：只有大小，没有方向的量（如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等），称为数量． 注： ①本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移． ②看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素． ③向量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小． 2．向量的表示法 (1)有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度． (2)向量的表示方法: ①字母表示法：如等. (2)几何表示法：以A为始点，B为终点作有向线段（注意始点一定要写在终点的前面）．如果用 一条有向线段表示向量，通常我们就说向量. 注： ①用字母表示向量便于向量运算； ②用有向线段来表示向量，显示了图形的直观性．应该注意的是有向线段是向量的表示，不是说向量 就是有向线段．由于向量只含有大小和方向两个要素，用有向线段表示向量时，与它的始点的位置无关，即同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量． 3．向量的有关概念 (1)向量的模：向量的大小叫向量的模(就是用来表示向量的有向线段的长度). 注： ①向量的模． ②向量不能比较大小，但是实数，可以比较大小． (2)零向量：长度为零的向量叫零向量.记作，它的方向是任意的． (3)单位向量：长度等于1个单位的向量. 注： ①在画单位向量时，长度1可以根据需要任意设定； ②将一个向量除以它的模，得到的向量就是一个单位向量，并且它的方向与该向量相同． (4)相等向量:长度相等且方向相同的向量. 注： 在平面内，相等的向量有无数多个，它们的方向相同且长度相等． 【题型1 向量概念的理解】 【例1】（2023下·山西阳泉·高一校考期中）下列命题中真命题的个数是（    ） （1）温度､速度､位移､功都是向量 （2）零向量没有方向 （3）向量的模一定是正数 （4）直角坐标平面上的x轴､y轴都是向量 A．0 B．1 C．2 D．3 【变式1-1】（2023上·黑龙江·高二统考学业考试）下列量中是向量的为（    ） A．频率 B．拉力 C．体积 D．距离 【变式1-2】（2023下·新疆·高一校考期末）下列说法正确的是（    ） A．身高是一个向量 B．温度有零上温度和零下温度之分，故温度是向量 C．有向线段由方向和长度两个要素确定 D．有向线段和有向线段的长度相等 【变式1-3】（2023·高一课时练习）下列说法错误的是（    ） A．向量与向量长度相等 B．单位向量都相等 C．向量的模可以比较大小 D．任一非零向量都可以平行移动 【题型2 零向量与单位向量】 【例2】（2023下·新疆·高一校考期中）下列说法正确的是（    ） A．向量的模是一个正实数 B．零向量没有方向 C．单位向量的模等于1个单位长度 D．零向量就是实数0 【变式2-1】（2023上·广东湛江·高二校考开学考试）下列命题正确的个数是（    ） （1）向量就是有向线段；（2）零向量是没有方向的向量； （3）零向量的方向是任意的；（4）零向量的长度为0． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2-2】（2022下·高一校考课时练习）下列说法正确的是（    ） A．零向量没有大小，没有方向 B．零向量是唯一没有方向的向量 C．零向量的长度为0 D．任意两个单位向量方向相同 【变式2-3】（2022·高一课时练习）已知向量是两个非零向量，分别是与同方向的单位向量，则以下各式正确的是（    ） A． B．或 C． D．与的长度相等 【题型3 向量的几何表示与向量的模】 【例3】（2023·高一课时练习）如图，某人从点A出发，向西走了200m后到达B点，然后改变方向，沿北偏西一定角度的某方向行走了到达C点，最后又改变方向，向东走了200m到达D点，发现D点在B点的正北方． (1)作出、、（图中1个单位长度表示100m）； (2)求的模． 【变式3-1】（2023下·高一课时练习）一艘军舰从基地A出发向东航行了200海里到达基地B，然后改变航线向东偏北航行了400海里到达C岛，最后又改变航线向西航行了200海里到达D岛． （1）试作出向量； （2）求． 【变式3-2】（2023·高一课时练习）在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量： （1），使||＝4，点A在点O