复习篇 第2讲 立体几何专题2：夹角问题和距离问题 2024年高二寒假数学专题化复习与重点化预习（人教A版2019）

贵哥讲高中数学 第2讲 立体几何专题2：夹角问题和距离问题 本讲义整体上难度偏难，题目有一定的分层，题量略大！ 1 夹角问题 (1)求异面直线所成的角 已知为两异面直线，与分别是上的任意两点，所成的角为， 则 (2) 求直线和平面所成的角 设直线方向向量为，平面法向量为，直线与平面所成的角为，与的夹角为， 则为的余角或的补角的余角，即有. (3)二面角 ① 二面角的平面角是指在二面角的棱上任取一点，分别在两个半平面内作射线 ，，则为二面角的平面角，二面角的取值范围是. 如图： ② 平面与平面的夹角 平面与平面相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角不大于的二面角称为平面与平面的夹角. ③ 空间向量求平面与平面的夹角 求法：设平面与平面的法向量分别为， 再设的夹角为，平面与平面的平面角为，则为或， 则. 2 距离问题 (1) 点间的距离 . (2)点到直线距离 若为直线外的一点，在直线上，为直线的方向向量，，则点到直线距离为 (3) 平行线与平行线的距离 在直线上任取一点，再求点到直线的距离便可. (4)点到平面的距离 若点为平面外一点，点为平面内任一点，平面的法向量为，则到平面的距离等于在法向量方向上的投影的绝对值，即. (5)直线平面之间的距离 当一条直线和一个平面平行时，直线上的各点到平面的距离相等.由此可知，直线到平面的距离可转化为求直线上任一点到平面的距离，即转化为点面距离. (6) 平面间的距离 利用两平行平面间的距离处处相等，可将两平行平面间的距离转化为求点面距离. 【题型1】 夹角问题 【典题1】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，∠ADC＝90°，AD∥BC，AB⊥AC，AB＝AC＝6，E点在AD上，且AE＝2ED． (1)求证：平面PAB⊥平面PAC； (2)若直线PC与平面PAB所成的角为45°，求二面角A﹣PE﹣B的余弦值． 【巩固练习】 1. (★★)如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB⊥AD，点M在棱PB上，PM＝2MB，点N在棱PC上，CN＝2NP，Q为PD的中点，． (1)求证：A，M，N，Q四点共面． (2)求直线AP与平面AMNQ的所成角的正弦值． 2. (★★)如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱长为3，底面边长为2，点M为BC的中点，点N在直线CC1上，且MN⊥AB1． (1)证明：MN⊥面AB1M； (2)求平面ABB1A1和平面AMN夹角的余弦值． 3. (★★★)如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，，平面BB1D1D． (1)求点A1到平面ABCD的距离； (2)若M是线段BB1上一点，平面MAC与平面BB1D1D夹角的余弦值为时，求的值． 【题型2】 距离问题 【典题1】 如图，三棱锥中，分别是棱上的点，且平面． (1)求证：平面； (2)若平面，，，为线段的中点，求到直线的距离. 【典题2】已知，分别是正方形边，的中点，交于，垂直于所在平面． (1)求证：平面． (2)若，，求点到平面的距离． 【巩固练习】 1. (★★)在直三棱柱中，，，为的中点，为的中点。 (1)求点到直线的距离；(2)求点到平面的距离. 2. (★★★)如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面，，，，为的中点． (Ⅰ)求点到平面的距离； (Ⅱ)在侧面内找一点，使面，并求出点到和的距离． 【题型3】 夹角问题中的存在性问题 【典题1】 如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，四边形BCC1B1为正方形，四边形BB1A1A为菱形，且∠BB1A＝60°，平面BB1A1A⊥平面BCC1B1，M为棱CC1的中点． (1)求证：BB1⊥AM； (2)棱A1C1(除两端点外)上是否存在点N，使得平面B1CN与平面B1C1N夹角的余弦值为？若存在，请求出点N的位置；若不存在，请说明理由． 【巩固练习】 1. (★★★)在直角梯形ABCD中，AD∥BC，，∠ABC＝90°，如图(1)．把△ABD沿BD翻折，使得平面ABD⊥平面BCD． (Ⅰ)求证：CD⊥AB； (Ⅱ)在线段BC上是否存在点N，使得AN与平面ACD所成角为60°？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【题型4】 夹角问题和距离问题中的最值 【典题1】 已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形，侧棱PA⊥平面ABCD，点M在棱DP上，且DM＝2MP，点N是在棱PC上的动点(不为端点)． (1)若N是棱PC中点，完成： (ⅰ)画出△PBD的重心G(在图中作出虚线)，并指出点G与线段AN的关系： (ⅱ)求证：PB∥平面AMN； (2