复习篇 第1讲 立体几何专题1：线面位置关系的证明 2024年高二寒假数学专题化复习与重点化预习（人教A版2019）

贵哥讲高中数学 第1讲 立体几何专题1：线面位置关系的证明 本讲义整体上难度中等偏上，题目有一定的分层，题量略大！ 1 线面位置关系的判定定理和性质定理 （1） 线面平行 ① 判定定理 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行. ② 性质 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行. （2）面面平行 ① 判定定理 如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么两个平面互相平行； 推论：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面的两条直线，那么这两个平面互相平行. ② 性质 · (面面平行线面平行) · (面面平行线线平行) · 夹在两个平行平面间的平行线段相等. （3）线面垂直 ① 判定定理 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直. ② 性质 (线面垂直线线垂直) 垂直同一平面的两直线平行 （4）面面垂直 ① 判定定理 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直. ② 性质 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直. 2 空间向量的应用 (1)线面平行 设直线的方向向量是，平面的法向量是，则要证明， 只需证明，即 (2)面面平行 若平面的法向量为，平面的法向量为要证，只需证 ，即证 (3)线面垂直 ①(法一)设直线的方向向量是平面的法向量是，则要证明，只需证明，即 ②(法二)设直线的方向向量是，平面内的两个相交向量分别为， 若 (4)面面垂直 若平面的法向量为，平面的法向量为，要证， 只需证，即证. 【题型1】 非向量法证明线面位置关系 【典题1】 如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝AB＝2，E，F，G分别是PC，PD，BC的中点． (1)求证：平面PAB∥平面EFG； (2)证明：平面EFG⊥平面PAD． 【巩固练习】 1. (★★)如图，四边形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，点F在棱PA上． (1)求证：PA∥平面CDE； (2)求证：平面PAB∥平面CDE； (3)求证：BF⊥AD． 2. (★★)如图，AB是圆O的直径，PA垂直圆O所在的平面，C是圆O上的点． (1)求证：BC⊥平面PAC； (2)设Q为PA的中点，G为△AOC的重心，求证：面OQG∥平面PBC． 3. (★★★)如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，BC∥平面PAD，，E是PD的中点． (1)求证：CE∥平面PAB； (2)若M是线段CE上一动点，则线段AD上是否存在点N，使MN∥平面PAB？说明理由． 【题型2】 向量法证明线面位置关系 【典题1】 在如图所示的几何体中，面为正方形，面为等腰梯形，，， ，． (1)求证：平面； (2)线段上是否存在点，使平面平面？证明你的结论． 【巩固练习】 1. (★★★)如图，在直三棱柱中，，，为的中点． (1)证明：∥平面； (2)证明：平面平面． 【题型3】 线面位置关系中存在性问题 【典题1】 如图1所示，在边长为12的正方形AA′A′1A1中，BB1∥CC1∥AA1，且AB＝3，BC＝4，AA1′分别交BB1，CC1于点P，Q，将该正方形沿BB1、CC1折叠，使得A′A1′与AA1重合，构成如图2所示的三棱柱ABC﹣A1B1C1中 (Ⅰ)求证：AB⊥PQ； (Ⅱ)在底边AC上是否存在一点M，满足BM∥平面APQ，若存在试确定点M的位置，若不存在请说明理由． 【典题2】如图，四棱锥中．为矩形，，且，，，．为上一点，且． (1)求证：平面； (2)分别在线段上的点，是否存在，使且，若存在，确定的位置；若不存在，说明理由． 【巩固练习】 1. (★★)在三棱锥中，平面，，，，分别为、的中点． (I)求证：平面平面； (II)在线段上是否存在一点，使？证明你的结论． 2. (★★★)如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是菱形，侧面PAB是正三角形，M是PD上一动点，N是CD中点． (Ⅰ)当M是PD中点时，求证：PC∥平面BMN； (Ⅱ)若∠ABC＝60°，求证：PC⊥AB； (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，是否存在点M，使得PC⊥BM？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 3. (★★★★)如图，正方形ADEF所在平面和等腰梯形ABCD所在平面相互垂直，已知BC＝4，AB＝AD＝2． (1)求证：AC⊥BF； (2)在线段BE上是否存在一点P，使得平面PAC⊥平面BCEF？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 1. (★★)如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D