空间向量与立体几何专题训练（二卷）-2023-2024学年高二数学上学期+选择性必修第一册（人教A版2019）含答案解析

2023—2024学年度高二上学期数学期末复习 空间向量与立体几何专题精练（二卷） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．在长方体，=2，则异面直线与所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 2．如图，直三棱柱，，且，则直线与直线所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在三棱锥中，，点在上，且，为中点，则 A． B． C． D． 4．清初著名数学家孔林宗曾提出一种“蒺藜形多面体”，其可由两个正交的正四面体组合而成，如图1，也可由正方体切割而成，如图2.在图2所示的“蒺藜形多面体”中，若，则给出的说法中错误命题有几个（    ） （1）该几何体的表面积为； （2）该几何体的体积为； （3）二面角的余弦值为； （4）若点、在线段、上移动，则的最小值为. A．个 B．个 C．个 D．个 5．在棱长为1的正方体中，（    ） A．1 B． C． D．2 6．如图，在长方体中，，，，，，则异面直线与CF所成的角为（    ） A．30° B．45° C．60° D．90° 7．在空间直角坐标系中，设点是点关于坐标平面的对称点，则（    ） A．8 B． C．29 D． 8．已知空间向量，，则向量在向量上的投影是（    ） A．1 B．3 C． D． 二、多选题 9．若向量是空间的一个基底，向量那么可以与构成空间的一组基底的向量是（    ） A． B． C． D． 10．如图1，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，O为DE的中点，，．将△ADE沿DE折起到△的位置，如图2．则正确的有（    ） A．当折起使得面面BCED时， B．几何体的最大体积是4 C．DE与面始终平行 D．与平面BCED所成角的范围是 11．已知正方体， 分别为，，的中点，则下列结论正确的是（    ） A．直线与直线垂直 B．直线与平面平行 C．平面与平面垂直 D．点C和点到平面的距离相等 12．已知四面体ABCD的所有棱长均为，M，N分别为棱AD，BC的中点，F为棱AB上异于A，B的动点，点G为线段MN上的动点，则（    ） A．线段MN的长度为1 B．周长的最小值为 C．的余弦值的取值范围为 D．直线FG与直线CD互为异面直线 三、填空题 13．已知正三棱锥的侧棱长为2020，过其底面中心作动平面交线段于点，交的延长线于两点，则的取值范围为 14．已知平面的一个法向量，直线的方向向量，则直线与平面所成角的余弦值为 ． 15．如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC的中点． (1)化简：－－＝ ； (2)用，，表示，则＝ . 16．如图，在正四棱锥中，二面角为60°，E为的中点.已知F为直线上一点，且F与A不重合，若异面直线与所成角为60°，则= . 四、解答题 17．如图，在四棱锥中，底面，四边形是正方形，且，是棱上的动点，是线段的中点. (1)求证：平面； (2)是否存在点，使得平面与平面所成的二面角的余弦值为 ?若存在，请求出线段的长；若不存在，请说明理由. 18．如图，在四棱锥中，平面，，∥，，，为棱的中点． (1)证明：∥平面； (2)若，求二面角的余弦值． 19．如图，直棱柱底面是菱形，点E，F分别在棱，上，且，. (1)求证：，，，四点共面； (2)若，求平面和平面的夹角的余弦值. 20．如图，四边形ABCD是平行四边形，且，四边形是矩形，平面平面，且. (1)求证：平面； (2)求平面与平面所成夹角的余弦值. 21．如图，在直三棱柱中，，，，、分别是、的中点. （1）证明：平面； （2）求二面角的余弦值. 22．如图，已知空间四边形，连接，，，，分别是，，的中点，请化简： （1）； （2），并在图中标出化简结果的向量． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．A 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得正确答案. 【详解】由题意可知DA，DC，两两垂直，则以D为原点，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系. 设，则，，，， ，， 从而， 故异面直线与所成角的余弦值是. 故选：A 2．D 【分析】通过建立空间直角坐标系，利用向量夹角公式即可得出． 【详解】解：如图所示，建立空间直角坐标系． 不妨取，则． ，，，． ，，． ． 故选：D． 3．C 【详解】 ,选C. 4．C 【分析】根据正四面体的表面积即可判断（1）；利用割补法，结合体积公式即可判断（2）；根据二面角的定义，结合空间向量法即可求解（3）；建立空间坐标系，利用点点距离