8.5＆8.6 空间中直线、平面的平行与垂直题型讲义-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第八章 立体几何初步 §8.5空间中直线、平面的平行 文字语言 图形语言 符号语言 直线与直线平行 基本事实4 平行于同一条直线的两条直线平行. 平行线的传递性 直线a，b，c，a∥b，b∥c⇒a∥c 等角定理 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. 直线与平面平行 判定定理 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行. 线线平行⇒线面平行 a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α 性质定理 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行. 线面平行⇒线线平行 a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b 平面与平面平行 判定定理 如果一个平面内的两条相交直线都与另一个平面平行，那么这两个平面平行. 线面平行⇒面面平行 a⊂α，b⊂α，a∩b＝P，a∥β，b∥β⇒α∥β 性质定理 如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行.两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行 面面平行⇒线线平行 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b §8.6空间中直线、平面的垂直 一、空间中直线、平面所成的角 定义 取值范围 图示 异面直线 所成的角 已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角． 空间两条直线所成角 异面直线所成角 直线与平面 所成的角 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角. 直线与平面所成的角 二面角 二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形. 记作：二面角α－l－β或α－AB－β或P－l－Q或P－AB－Q. 二面角的平面角：在二面角α－l－β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角． 二面角的平面角 二、空间中直线、平面的距离 1．直线与平面的距离 一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离． 2．两个平行平面间的距离 如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离． 三、空间中直线、平面的垂直 文字语言 图形语言 符号语言 直线与直线垂直 相交垂直 a⊥b 异面垂直 如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直．直线a与直线b互相垂直. a⊥b 直线与平面垂直 （一般地，如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直.） 判定定理 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直. 线线垂直⇒线面垂直 l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝P⇒l⊥α 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行. 线面垂直⇒线线平行 ⇒a∥b 平面与平面垂直 （一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．） 判定定理 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直. 线面垂直⇒面面垂直 l⊥α，l⊂β⇒α⊥β 性质定理 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直. 面面垂直⇒线线垂直 α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β 题型一：空间中直线、平面面平行与垂直的判定与证明 【典例】1．已知直线、、与平面、，下列命题正确的是（    ） A．若，，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 2．已知两个平面，两条直线，则下列命题正确的是（　　） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，，，则 D．若是异面直线，，，，，则 3．如图已知正方体，M，N分别是，的中点，则（    ） A．直线与直线垂直，直线平面 B．直线与直线平行，直线平面 C．直线与直线相交，直线平面 D．直线与直线异面，直线平面 4．如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面平行的是（    ） A． B． C． D． 5．如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点．则满足的是（    ） A． B． C． D． 6．如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，、分别为、的中点. （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）求证：平面平面； （Ⅲ）求证：平面. 【方法总结】证明线线平行的方法：①利用线线平行定义证共面且无公共点；②利用基本事