3函数的概念与性质单元教材要点解析-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）期末复习讲练系列

2023-2024学年高中数学必修第一册人教A版（2019） 第三章 函数的概念与性质 教材要点解析 教材要点1 函数的概念及其表示 （1）.函数的概念 一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数(function)，记作y＝f(x)，x∈A.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域(domain)；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域(range)．显然，值域是集合B的子集． （2）.区间： 设,是两个实数，而且，我们规定： ①满足不等式的实数的集合叫做闭区间，表示为； ②满足不等式的实数的集合叫做开区间，表示为； ③满足不等式或的实数的集合叫做半开半闭区间，分别表示为： , . 这里的实数，都叫做相应区间的端点. 这些区间的几何表示如下表所示. 定义 名称 符号 数轴表示 闭 区 间 开 区 间 半开半闭区间 半开半闭区间 ④实数集可以表示为,“”读作“无穷大”，“”读作“负无穷大”，“” 读作“正无穷大”. 满足，，，的实数的集合，用区间分别表示为 ， ，. 这些区间的几何表示如下表所示. 定义 符号 数轴表示 注意： ①“”是一个趋向符号，表示无限接近，却永远达不到，不是一个数. ②以“”或“”为区间的一端时，这一端点必须用小括号. （3）.函数的三要素 ①定义域； ②对应关系； ③值域.值域随定义域和对应关系的确定而确定. （4）.相同函数 如果两个函数的定义域和对应关系分别相同，那么就说这两个函数是同一个函数. （5）.求函数的定义域 ①是整式时，定义域是全体实数． ②是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数． ③是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合． ④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1． ⑤中，． ⑥零（负）指数幂的底数不能为零． ⑦若是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集． ⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知的定义域为，其复合函数的定义域应由不等式解出． ⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论． ⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义． （6）.函数的表示方法 ①解析法 用数学表达式表示两个变量之间的对应关系的方法叫做解析法. 解析法是表示函数的一种重要的方法，这种表示法从“数”的方面简明、全面地概括了变量之间的数量关系. ②图象法 用图象表示两个变量之间的对应关系的方法叫做图象法. 图象法直观地表示了函数值随自变量值改变的变化趋势，从“形”的方面刻画了变量之间的数量关系. 说明：将自变量的一个值作为横坐标，相应的函数值作为纵坐标，就得到坐标平面上的一个点.当自变量取遍函数的定义域中的每一个值时，就得到一系列这样的点，所有这些点组成的图形就是函数的图象.函数的图象在轴上的射影构成的集合就是函数的定义域，在轴上的射影构成的集合就是函数的值域. 函数的图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点，等等. ③列表法 通过列出表格来表示两个变量之间的对应关系的方法叫做列表法.例如，初中学习过的平方表、立方表都是表示函数关系的. （6）.分段函数 ①分段函数的概念 有些函数在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数称为分段函数.如 ① ， ②. 说明：i分段函数是一个函数，而不是几个函数.处理分段函数问题时，要先确定自变量的取值在哪个区间，从而选取相应的对应关系. ii分段函数在书写时用大括号把各段函数合并写成一个函数的形式.并且必须指明各段函数自变量的取值范围. iii分段函数的定义域是自变量所有取值区间的并集，分段函数的定义域只能写成一个集合的形式，不能分开写成几个集合的形式. iiii分段函数的值域是各段函数在对应自变量的取值范围内值域的并集. ②分段函数的图象 分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成.在同一坐标系中，根据每段的定义区间和表达式依次画出图象，要注意每段图象的端点是空心点还是实心点，组合到一起就得到整个分段函数的图象. 教材要点2 函数的基本性质 函数的性质是指在函数变化过程中的不变性和规律性. （1）.单调性与最大（小）值 ①定义及判定方法 函数的 性 质 定义 图象 判定方法 函数的 单调性 如果对于属于