4.4.1对数的概念 课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

4.3.1 对数的概念 一 情景引入 十六世纪末到十七世纪初，哥白尼的“太阳中心说”刚刚开始流行，这导致天文学成为当时的热门学科.可是由于当时常量数学的局限性，天文学家们不得不花费很大的精力去计算那些繁杂的“天文数字”，因此花费了若干年甚至毕生的宝贵时间. 教师：299 792.468是光在真空中的速度（km/s),31 536 000是一年的总秒数，所得的结果正是天文学中的一光年.这个天文学中的基本单位的运算尚且如此复杂，要探索整个宇宙，任务何其艰巨！古人没有计算器，常常陷于繁难的大数计算而深感苦恼，他们为了计算出一个行星的位置，往往要耗费几个月甚至几年的时间，庞大的天文数字计算严重地束缚着人类探索宇宙的进程.与此同时，数学家们也感慨：“没有什么比大数的乘、除、开平方或开立方运算更让数学工作者头疼、更阻碍计算者的了.这不仅浪费时间，而且容易出错.” 新知讲解 观察指数函数的图像的，并求出下列指数的值是多少？ (1)=1 (2)=2 (3)=4 (4)=8 (5)=16 (6)=5 (7)=9.3 4 对数的定义 定义：如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的 对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数， N叫做真数 ①底数的限制，a>0且a≠1； ②对数的书写格式 注意 解得3<x<4或x>4. 在M＝log(x－3)(x＋1)中，要使式子有意义，x的取值范围为 A.(－∞，3] B.(3,4)∪(4，＋∞) C.(4，＋∞) D.(3,4) √ 常用对数与自然对数 常用对数：将以10为底的对数叫做常用对数， 并把log10N记做lg N。 自然对数：以无理数e =2.71828…为底的对数， 称为自然对数，并把logeN记做ln N。 定 义 理 解 1.1x=2，那么x可以记作 x=log1.12 读作：以1.1为底2的对数 2x=3，那么x可以记作 x=log23 读作：以2为底3的对数 3x=27，那么x可以记作 x=log327 读作：以3为底27的对数 对数式与指数式的关系 a x = N log a N = x 幂 指数 底数 真数 以a为底N的对数 对数的性质 1.对数和指数运算互为逆运算 2.底数a>0且a≠1；底数a的取值范围： 3.真数N>0，负数和0没有对数：loga1=0 ；logaa=1 4.对数恒等式:如果把ax=N中的 x写成x=logaN，则有 10 题型1对数和指数互化 例1 把下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： （1）54=625； （2）2-6=； （3）=5.73; （4） 规律总结 指数式与对数式互化的思路 指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式. 对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式. 题型二 对数的求值 例2 求下列各式中的x值： (1)log5x=3; (2)log2(2x+1)=3; (3)logx=3; (4)log28x=-3. 例2 求下列各式中的x值： (1)log5x=3; (2)log2(2x+1)=3; (3)logx=3; (4)log28x=-3. 题型二 对数的求值 反思感悟 基本方法 将对数式化为指数式，构建方程转化为指数问题. 利用幂的运算性质和指数的性质计算. 例4　求下列各式中x的值： (1)log2(log5x)＝0； ∵log2(log5x)＝0，∴log5x＝20＝1， ∴x＝51＝5. (2)log3(lg x)＝1； ∵log3(lg x)＝1，∴lg x＝31＝3， ∴x＝103＝1 000. 题型三 对数的性质应用 (3)　　　　； (5)logx16＝－4. 利用对数的性质求值的方法 (1)求解此类问题时，应根据对数的两个结论loga1＝0和logaa＝1(a>0且a≠1)，进行变形求解，若已知对数值求真数，则可将其化为指数式运算. (2)已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log ”后再求解. 反思感悟 课堂小结 由对数的概念可得 ＝3－2＝. (4)log27x＝－； 由log27x＝－，得 由logx16＝－4，得x－4＝16，即x4＝＝4， 又x>0，且x≠1，∴x＝. $$