12.5 因式分解 讲义 2023-—2024学年华东师大版数学八年级上册

12.5 因式分解 知识梳理 1、（1）因式分解（分解因式）：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。 （2）因式分解和整式乘法的关系：因式分解和整式乘法是整式恒等变形的正、逆过程，整式乘法的结果是整式（单项式或多项式），因式分解的结果是乘积式（“单乘多”或“多乘多”）。 2、（1）公因式：一个多项式每一项都含有的相同的因式叫做这个多项式的公因式。 （2）确定公因式的方法：公因式的系数应取各项系数的绝对值的最大公约数；字母取各项都有的相同字母，其指数取次数最低的。 3、（1）提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。 　　提出多项式的公因式以后，另一个因式的确定方法是：用原来的多项式除以公因式所得的商就是另一个因式。 　　如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数是正的，在提出“-”号时，多项式的各项都要变号。 4、运用公式法：如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法。 （1）平方差公式：两数平方差，等于这两数的和乘以这两数的差，字母表达式：=(a+b)(a-b)。 具备什么特征的两项式能用平方差公式分解因式：①系数是完全平方数；②字母指数是偶数；③两项符号相反(即两项一正号一负号)。 用平方差公式分解因式的关键：把每一项写成平方的形式，并能正确地判断出a，b分别等于什么。 （2）完全平方公式：两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或者差)的平方。字母表达式：a22ab+b2=（ab）2。 具备什么特征的三项式能用完全平方公式分解因式：①它是一个三项式；②其中有两项是某两数的平方和（这两项同号）；③另一项是这两数积的正二倍或负二倍；④具备以上三方面的特点以后，就等于这两数和(或者差)的平方。 5、因式分解的基本思路是：一“提”（提公因式）；二“用”（用公式）。 具体说，可从多项式的项数来考虑用什么方法分解因式：①如果是两项，应考虑用提公因式法，平方差公式；②如果是三项式，应考虑用提公因式法，完全平方公式或十字相乘法。 6、因式分解要注意的几个问题：①每个因式分解到不能再分为止；②相同因式写成乘方的形式；③因式分解的结果不要中括号；④如果多项式的第一项系数是负数，一般要提出“-”号，使括号内的第一项系数为正数；⑤因式分解的结果，如果是单项式乘以多项式，把单项式写在多项式的前面。 基础训练 一、单选题 1．下列式子从左到右变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 2．下列四个多项式中，能因式分解的是（       ） A．a2+1 B．a2-6a+9 C．x2+5y D．x2-5y 3．若x2﹣4x+3与x2+2x﹣3的公因式为x﹣c，则c之值为何？（ ） A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3 4．将下列多项式分解因式，结果中不含因式的是 A． B． C． D． 5．（﹣x6+3x5）+（3x+2）（﹣2x6+x5）+（x+1）（3x6﹣4x5）与下列哪一个式子相同？（ ） A．（3x6﹣4x5）（2x+1） B．（3x6﹣4x5）（2x+3） C．﹣（3x6﹣4x5）（2x+1） D．﹣（3x6﹣4x5）（2x+3） 6．若代数式x2+ax可以因式分解,则常数a不可以取的值是(　) A．-1 B．0 C．1 D．2 7．下列因式分解中，正确的个数为（   ） ①x3+2xy+x=x（x2+2y）；②x2+4x+4=（x+2）2；③﹣x2+y2=（x+y）（x﹣y） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 8．将（a﹣1）2﹣1分解因式，结果正确的是   （        ） A．a（a﹣1） B．a（a﹣2） C．（a﹣2）（a﹣1） D．（a﹣2）（a+1） 9．计算：852﹣152=（　　） A．70 B．700 C．4900 D．7000 10．计算：552﹣152=（ ） A．40 B．1600 C．2400 D．2800 11．下列因式分解正确的是（　　） A．2x2﹣2＝2（x+1）（x﹣1） B．x2+2x﹣1＝（x﹣1）2 C．x2﹣1＝（x﹣1）2 D．x2﹣x+2＝x（x﹣1）+2 12．下列因式分解正确的是（　　） A．x2﹣y2=（x﹣y）2 B．a2+a+1=（a+1）2 C．xy﹣x=x（y﹣1） D．2x+y=2（x+y） 13．下列因式分解正确的是（       ） A．x2+2x+1=x(x+2)+1 B．(x2-4)x=x3-4x C．ax+bx=(a+b)x D．m2-2mn+n2=(m+n)2 14．