19.2.3 一次函数与方程、不等式(第2课时) 教 案 2023-2024学年人教版八年级数学下册

第十九章 一次函数 19.2 一次函数 19.2.3　一次函数与方程、不等式（第2课时） 1.理解一次函数与二元一次方程（组）的关系，会用图象法解二元一次方程组. 2.经历一次函数与二元一次方程（组）关系的探索及相关实际问题的解决过程，学会用函数的方法去认识问题. 3.在探究活动中培养学生严谨的科学态度和勇于探索的科学精神，在师生、生生的交流活动中，学会与人合作，学会倾听、欣赏和感悟，体验数学的价值，建立自信心. 教学重难点 重点：一次函数与二元一次方程（组）关系的探索. 难点：综合运用方程（组）、不等式和函数的知识解决实际问题. 教学过程 导入新课 复习引入 怎样用函数的方法解一元一次方程和一元一次不等式？ 上节课我们从函数的观点求解一元一次方程和一元一次不等式，方程、不等式与函数之间有着密切的联系，下面我们从函数的角度来看二元一次方程（组）并用函数的方法来解二元一次方程组. 探究新知 1.从函数的角度看解二元一次方程（组） 例1　1号探测气球从海拔5 m处出发，以1 m/min的速度上升.与此同时，2 号探测气球从海拔15 m处出发，以0.5 m/min的速度上升.两个气球都上升了1 h. （1）用式子分别表示两个气球所在位置的海拔 y （单位：m）关于上升时间 x（单位：min）的函数关系. （2）在某时刻两个气球能否位于同一高度？如果能，这时气球上升了多长时间？位于什么高度？ 师生活动：教师用动画展示气球的运动过程，学生独立写出函数解析式. 图1 气球上升的时间x满足0≤x ≤60. 对于1号气球，y关于x的函数解析式为y＝x+5. 对于2号气球，y关于x的函数解析式为y＝0.5x+15. 师：如果把x，y看作是未知数，那么这两个式子表示什么意义？ 师生活动：引导学生用方程的观点看一次函数，发现一次函数的表达式是一个二元一次方程. 教师继续引导学生从函数的角度看二元一次方程，从方程的角度看一次函数，并发现其联系. 图2 师生继续分析：由于两气球上升的速度不同，开始时1号气球低，2号气球高，到某时刻两个气球位于同一高度，就是说对于x的某个值（0≤x≤60），函数y＝x+5和y＝0.5x+15有相同的值y.如能求出这个x和y，则问题得到解决.由此容易联想到解二元一次方程组 解出x，y的值即可. 师：你能从函数的角度进行分析吗？引导学生画出两个函数的图象，交点即是要求的点. 师生活动：教师把学生分成两组，一组同学从数量关系研究，写出解答过程，另一组同学从图形的角度研究，并写出解答过程. 解法1：从数量的角度看： 对于1号气球，y关于x的函数解析式为y＝x+5. 对于2号气球，y关于x的函数解析式为y＝0.5x+15. 解二元一次方程组 即 解得 这就是说，当上升20 min时，两个气球都位于海拔25 m的高度. 解法2：从图形的角度研究： 在同一直角坐标系中画出两个函数的图象如图2，从中发现，当x＝20时，对应的函数值相等，都是25.也就是说，两直线交于一点，交点坐标为（20，25）. 图3 2.回顾上面的解题过程，从函数的角度看二元一次方程组，你能得到哪些结论？ 总结：每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线. （1）从“数”的角度看，解二元一次方程组，相当于求自变量为何值时相应的两个函数值相等，以及这个函数值是多少； （2）从“形”的角度看，解二元一次方程组，相当于确定两条相应直线交点的坐标. 新知应用 例2　当自变量x取何值时，函数y＝2x-5和y＝-x+1的值相等？这个函数值是多少？ 师生活动：学生先独立思考，然后小组交流，教师点拨巡视，最后得出解此题的三种方法.请三位同学板演. 解：（方法1）由题意，得2x-5＝-x+1，解此方程，得x＝2.此时y＝-1. （方法2） 把两个函数转化为二元一次方程组， 得　解得 （方法3） 画函数图象，求交点坐标. 如图3，由图象得x＝2，y＝-1. 图4 合作学习： 例3　小张准备将平时的零用钱节约一些储存起来.他已存有50元，从现在起每个月存12元.小张的同学小王以前没有存过零用钱，听到小张在存零用钱，表示从小张存款当月起每个月存18元，争取超过小张.请你求出小张和小王的存款和月数之间的函数关系，并计算半年以后小王的存款是多少，能否超过小张？至少几个月后小王的存款能超过小张？ 师生活动：学生独立解决，然后小组交流答案. 解：设小张x个月后的存款是y1元，小王x个月后的存款是y2元，则y1＝50+12x，y2＝18x，如图5 图5 当x＝6时，y1＝50+12×6＝122（元）， y2＝18×6＝108（元）. 所以半年后小王的存款不能超过小张. 由y2>y1，即18x> 50+12x，得x>， 所以9个月后，小王的存款能超过小张. 课堂练习（见导学