19.2.3一次函数与方程、不等式(第1课时) 教学设计 2023-2024学年人教版八年级数学下册

第十九章 一次函数 19.2 一次函数 19.2.3　一次函数与方程、不等式（第1课时） 1.理解并掌握一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的相互联系；并能通过函数图象来解决一元一次方程、一元一次不等式的问题. 2.学习用函数的角度看待方程和不等式的方法，感受用全面的观点处理局部问题的思想. 3.经历方程与不等式关系问题的探究过程，学习用联系的观点看待数学问题. 教学重难点 重点：根据图象解决一元一次方程和一元一次不等式的求解问题. 难点：根据图象解决一元一次方程和一元一次不等式的求解问题. 教学过程 导入新课 复习引入 对于函数中的两个变量x和y，我们可以从哪些方面理解它们的含义呢？ 变量名称 x y 平面直角坐标系 x轴 y轴 坐标系中的点 横坐标 纵坐标 函数解析式 自变量 函数 方程、不等式与函数之间有着密切的联系，下面我们从函数的角度看解一元一次方程和一元一次不等式. 探究新知 1.从函数的角度看解一元一次方程 例1　下面3个方程有什么共同点和不同点？你能从函数的角度对解这3个方程进行解释吗？ （1）2x+1＝3；（2）2x+1＝0；（3）2x+1＝-1. 思考：代数式2x+1值的变化是由谁的变化造成的？它的每一个值的确定又是与谁的确定相对应？ 图1 师生共同分析：这3个方程的等号左边都是2x+1，等号右边分别是3，0，-1.从函数的角度看，解这3个方程相当于在一次函数y＝2x+1的函数值分别为3，0，-1时，求自变量x的值.或者说，在直线y＝2x+1上取纵坐标分别为3，0，-1的点，看它们的横坐标分别为多少，即图象上A，B，C三点的横坐标. 2.归纳总结：如何用函数的方法解一元一次方程？ 师生活动：学生先独立思考，小组交流，最后请学生代表回答，教师归纳并点拨： 因为任何一个以x为未知数的一元一次方程都可以变形为ax+b＝0（a≠0）的形式，所以 （1）从函数的角度考虑，就是求y＝ax+b的函数值为0时的对应自变量x的值； （2）从函数图象的角度考虑，就是确定直线y＝ax+b与x轴交点的横坐标. 3.从函数的角度看解一元一次不等式 例2　下面3个不等式有什么共同点和不同点？你能从函数的角度对解这3个不等式进行解释吗？ （1）3x+2>2； （2）3x+2<0； （3）3x+2<-1. 思考：你能类比一次函数和一元一次方程的关系，试着从函数角度看解一元一次不等式吗？ 图2 师生共同分析：这3个不等式的不等号左边都是3x+2 ，而不等号及不等号右边却有不同.从函数的角度看，解这3个不等式相当于在一次函数y＝3x+2的函数值分别大于2、小于0、小于-1时，求自变量x的取值范围.或者说，在直线y＝3x+2上取纵坐标分别满足大于2、小于0、小于-1的点，看它们的横坐标分别满足什么条件，即自变量x的取值范围. 4.归纳总结：如何用函数的方法解一元一次不等式？能把你得到的结论推广到一般情形吗？ 师生活动：学生先独立思考，小组交流，最后请学生代表回答，教师归纳并点拨. 归纳：因为任何一个以x为未知数的一元一次不等式都可以变形为ax+b>0或ax+b<0 （a≠0）的形式，所以 （1）从函数的角度看，就是求一次函数y＝ax+b的函数值大于（或小于）0时自变量x的取值范围； （2）从函数图象的角度看，就是确定直线y＝ax+b在x轴上（或下）方部分的自变量x的取值范围. 或：（1）不等式ax+b>c的解集就是使函数y＝ax+b的函数值大于c的对应的自变量x的取值范围； （2）不等式ax+b<c的解集就是使函数y＝ax+b的函数值小于c的对应的自变量x的取值范围. 新知应用 例3　一个物体现在的速度是5米/秒，其速度每秒增加2米，再过几秒它的速度为17米/秒？ 师生活动：学生独立思考后小组交流活动，可得到两种解法. 解法1：设再过x秒物体的速度为17米/秒. 列出方程5+2x＝17，解得x＝6. 解法2：将解法1中的方程化为2x-12＝0， 画出函数y＝2x-12的图象如图3， 图3 找到图象与x轴的交点（6，0），得x＝6. 合作学习： 用画函数图象的方法解不等式5x+4 <2x+10. 解法1：不等式可化为3x-6<0，画出直线y＝3x-6，可以看出图象在x轴下方的部分对应的自变量的取值范围是x<2. 所以不等式的解集为x<2. 解法2：将原不等式两边分别看成一次函数y＝5x+4和y＝2x+10，画出两个函数的图象如图4， 图4 找到交点的横坐标为2，当x<2时，对于同一个x，直线y＝5x+4上的点在直线y＝2x+10上相应点的下方，这时5x+4<2x+10，所以不等式的解集为x<2. 课堂练习（见导学案“当堂达标”） 参考答案 当堂达标 1.D　2.C　3.x>2　4.x>1 5.D　解析：解方程组可