专题11椭圆（3个知识点7个拓展2个突破7种题型2个易错点）-【倍速学习法】2023-2024学年高二数学核心知识点与常见题型通关讲解练（人教A版2019选修第一册）

专题11椭圆（3个知识点7个拓展2个突破7种题型2个易错点） 【目录】 倍速学习四种方法 【方法一】 脉络梳理法 知识点1.椭圆的概念 知识点2椭圆的标准方程 知识点3.椭圆的简单几何性质 拓展1.椭圆定义的应用与推广 拓展2.用待定系数法求椭圆标准方程的步骤 拓展3.求曲线的轨迹方程 拓展4.椭圆焦点三角形的性质 拓展5.椭圆的几何性质的常用结论 拓展6.求椭圆离心率的方法 拓展7.直线与椭圆的位置关系 突破1.中点弦问题 突破2.利用圆锥曲线定义求最值 【方法二】 实例探索法 题型1.椭圆定义的理解 题型2.椭圆方程的求解 题型3.椭圆定义及方程的应用 题型4.椭圆的性质的应用 题型5.求离心率的值 题型6.求离心率的取值范围 题型7.直线与椭圆的位置关系 【方法三】差异对比法 易错点1.忽视焦点位置的分类讨论而致错 易错点2.忽略椭圆中变量的取值范围而致错 【方法四】 成果评定法 【倍速学习五种方法】 【方法一】脉络梳理法 知识点1.椭圆的概念 我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距． 例1．（2023·全国·高二假期作业）（多选）下列说法中错误的是（    ） A．已知，，平面内到，两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆 B．已知，，平面内到，两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆 C．平面内到点，两点的距离之和等于点到，的距离之和的点的轨迹是椭圆 D．平面内到点，距离相等的点的轨迹是椭圆 知识点2椭圆的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a＞b＞0) 焦点 (－c,0)与(c,0) (0，－c)与(0，c) a，b，c的关系 c2＝a2－b2 例2．（2022上·河南省直辖县级单位·高二济源市第四中学校考期末）已知，是椭圆的两个焦点，过且垂直于轴的直线交于，两点，且，则的方程为（    ） A． B． C． D． 知识点3.椭圆的简单几何性质 焦点的 位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 焦点的 位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准 方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a>b>0) 范围 －a≤x≤a且－b≤y≤b －b≤x≤b且－a≤y≤a 对称性 对称轴为坐标轴，对称中心为原点 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a) B1(－b,0)，B2(b,0) 轴长 短轴长|B1B2|＝2b，长轴长|A1A2|＝2a 焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c . 离心率 (1)定义：椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率． (2)性质：离心率e的范围是(0,1)．当e越接近于1时，椭圆越扁；当e越接近于0时，椭圆就越接近于圆． 例3. （2023上·新疆乌鲁木齐·高二校考期中）已知椭圆的焦点分别为，点在椭圆上，于，，，则椭圆的长轴长为（    ） A．6 B．3 C． D． 拓展1.椭圆定义的应用与推广 1．（2023上·四川绵阳·高二校考阶段练习）已知圆：，圆：.若动圆与外切，且与圆内切. (1)判断圆和的位置关系； (2)求动圆的圆心的轨迹方程. 拓展2.用待定系数法求椭圆标准方程的步骤 (1)定位置：根据条件判断椭圆的焦点是在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能． (2)设方程：根据上述判断设方程＋＝1(a＞b＞0)或＋＝1(a＞b＞0)或整式形式mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)． (3)找关系：根据已知条件建立关于a，b，c(或m，n)的方程组． (4)得方程：解方程组，将解代入所设方程，写出标准形式即为所求． 2．（2023上·湖北十堰·高二校联考阶段练习）已知椭圆的焦点坐标为和，且椭圆经过点. (1)求椭圆的方程； (2)点为椭圆上的动点，且，求的面积. 拓展3.求曲线的轨迹方程 3．（2023·广东广州·统考模拟预测）在平面直角坐标系中，点，点是平面内的动点.若以PF为直径的圆与圆内切，记点P的轨迹为曲线E． (1)求E的方程； (2)设点，，，直线AM，AN分别与曲线E交于点S，T（S，T异于A），，垂足为H，求的最小值． 拓展4.椭圆焦点三角形的性质 椭圆上的点P与两焦点F1，F2构成的三角形叫做焦点三角形，在焦点三角形中，令∠F1PF2＝θ，如图． (1)当点P与B1或B2重合时，∠F1PF2最大． (2)焦点△PF1F2的周长为2(a＋c)． (3)|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1