第一章 空间向量与立体几何检测练习——2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第一章 空间向量与立体几何 检测练习 一、单选题 1．在如图所示的斜三棱柱中，，，则“”是“”的（    ）    A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．若直线，的方向向量分别为，，则这两条直线（    ） A．平行 B．垂直 C．异面垂直 D．垂直相交 3．如图，已知在平行六面体中，，且，则（    ） A． B． C． D． 4．如图所示，正三棱柱的所有棱长均为1，点P、M、N分别为棱、AB、的中点，点Q为线段MN上的动点．当点Q由点N出发向点M运动的过程中，以下结论中正确的是（   ） A．直线与直线CP可能相交 B．直线与直线CP始终异面 C．直线与直线CP可能垂直 D．直线与直线BP不可能垂直 5．下列条件中一定使点P与A，B，C共面的有（    ）个 ① ② ③ ④ A．0 B．1 C．2 D．3 6．已知正三棱锥中，，，，则正三棱锥内切球的半径为（    ） A． B． C． D． 7．如图，已知正方形所在平面与正方形所在平面构成的二面角，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）． A． B． C． D． 8．若向量，，且，则实数的值是（    ） A．0 B．1 C． D． 二、多选题 9．如图，正方体棱长为1，点是线段上的一个动点，下列结论中正确的是（    ） A．存在点，使得 B．三棱锥的体积为定值 C．若动点在以点为球心，为半径的球面上，则的最小值为 D．过点，，作正方体的截面，则截面多边形的周长的取值范围是 10．如图，在三棱柱中，，，设，，，且向量与的夹角为45°，则（    ） A． B．与AC所成的角为60° C． D．当时，三棱锥的体积为定值 11．如图，四棱锥中，底面是正方形，平面，，，分别是，的中点，是棱上的动点，则（    ） A． B．存在点，使平面 C．存在点，使直线与所成的角为 D．点到平面与平面的距离和为定值 12．如图，若正方体的棱长为2，点是正方体的底面上的一个动点（含边界），是棱的中点，则下列结论正确的是（    ）    A．若保持，则点在底面内运动路径的长度为 B．三棱锥体积的最大值为 C．若，则二面角的余弦值的最大值为 D．若则与所成角的余弦值的最大值为 三、填空题 13．点是正四面体的中心，.若，其中，则动点扫过的区域的体积为 . 14．已知向量,若,则的值为 ． 15．如图,在棱长都为1的平行六面体中,两两夹角均为,则 . 16．正方体的棱长为1，E，F，G分别为的中点，则下列结论正确的是 . ①直线与直线AF垂直 ②直线与平面AEF平行 ③平面AEF截正方体所得的截面面积为 ④点与点D到平面AEF的距离相等 四、解答题 17．如图，在四棱锥中，底面为梯形，平面，，，，. (1)若四棱锥的体积为，求的长； (2)在（1）的条件下，求直线与平面所成角的正弦值. 18．在正六棱柱中，化简，并在图中标出化简结果．      19．如图，几何体中，，均为边长为2的正三角形，且平面平面，四边形为正方形. （1）若平面平面，求证:平面平面； （2）若二面角为，求直线与平面所成角的正弦值. 20．如图，四棱锥的底面ABCD是平行四边形，底面ABCD，，，，. (1)求证：平面PAC； (2)E是侧棱PB上一点，记，是否存在实数，使平面ADE与平面PAD所成的二面角为60°？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 参考答案： 1．C 【分析】以为基底，计算，然后解不等式即可判断答案. 【详解】因为， 所以 ， 所以， 因为，所以. 反之，若，则， 则，即. 所以“”是“”的充要条件. 故选：C 2．B 【分析】根据方向向量的位置关系判断直线的位置关系即可. 【详解】因为，所以，所以. 故选：B. 3．A 【分析】根据题意得，进而根据空间向量求模即可. 【详解】由题意可知，因为， 所以，所以． 故选：A． 4．B 【分析】证明平面，从而可证四点不共面，即可判断AB；设，将分别用表示，假设直线与直线CP垂直，则，求出即可判断C；证明平面，即可判断D. 【详解】在正三棱柱中， 因为点M、N分别为棱AB、的中点，所以， 又平面，平面， 所以平面， 因为平面，，， 所以四点不共面， 所以直线与直线CP始终异面，故A错误，B正确； 对于C，设， 则， ， 若直线与直线CP垂直，则， 即， 所以， 即，解得， 因为，所以不存在点使得直线与直线CP垂直，故C错误； 对于D，连接， 因为为的中点，所以， 又因平面，平面， 所以， 因为平面， 所以平面， 又平面，所以， 所以当点在的位置时，直线与直线BP垂直，故D错误. 故选：B. 5．C 【分析】根据向量共面的充要条件判断即可.