串讲04 立体几何（考点串讲）-【中职专用】2023-2024学年高二数学上学期期末考点大串讲（高教版2021）

串讲04 立体几何 一、知识网络 二、常考题型 三、知识梳理 1.平面的基本性质 （1）三个性质 如果直线l上的两个点都在平面α内，那么直线l上的所有点都在平面α内． 如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，并且所有公共点的集合是过这个点的一条直线 不在同一条直线上的三个点，可以确定一个平面 （2）三个结论． 直线与这条直线外的一点可以确定一个平面 两条相交直线可以确定一个平面 两条平行直线可以确定一个平面 2.异面直线 不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线. 3.直线与平面平行 （1）直线与平面平行的定义 如果一条直线与一个平面没有公共点，那么就称这条直线与这个平面平行. 直线与平面平行，记作∥. （2）直线与平面平行的判定 如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行. （3）直线与平面平行的性质 如果一条直线与一个平面平行，并且经过这条直线的一个平面和这个平面相交，那么这条直线与交线平行. 4.平面与平面平行 （1）平面与平面平行的定义 如果两个平面没有公共点，那么称这两个平面互相平行． 平面与平面平行，记做∥． （2）平面与平面平行的判定 如果一个平面内的两条相交直线都与另一个平面平行，那么这两个平面平行． （3）平面与平面平行的性质 如果一个平面与两个平行平面相交，那么它们的交线平行． 5.直线与平面垂直的判定与性质 1.直线与平面垂直的判定 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直． 2.直线和平面垂直的性质 垂直于同一个平面的两条直线互相平行． 6.面与平面垂直的判定与性质 1.平面与平面垂直的判定 一个平面经过另一个平面的垂线则两个平面垂直． 2.平面与平面垂直的性质 7.空间两条直线所成的角 1.定义：经过空间任意一点分别作与两条异面直线平行的直线，这两条相交直线的夹角叫做两条异面直线所成的角 2.范围： 3.垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b． 8.直线与平面所成的角 有关概念 对应图形 斜线 一条直线与平面α相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，如图中直线PA 斜足 斜线和平面的交点，图中点A 射影 过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影，图中斜线PA在平面α上的射影为直线AO 9.平面与平面所成的角 （1）二面角 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面． （2）二面角的平面角 过棱上的一点，分别在二面角的两个面内作与棱垂直的射线，以这两条射线为边的最小正角叫做二面角的平面角 （3）二面角的范围 二面角取值范围是． 四、常考题型探究 考点一 文字语言、符号语言和图形语言的相互转化 例1．如果A点在直线上，而直线在平面内，点在内，可以用集合语言和符号表示为（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【解析】A点在直线上，而直线在平面内，点B在内， 表示为：，，．故选B. 例2．如图所示，用符号语言可表达为（    ）    A．，， B．，， C．，，， D．，，， 【答案】A 【分析】结合图形及点、线、面关系的表示方法判断即可． 【详解】如图所示，两个平面与相交于直线，直线在平面内，直线和直线相交于点， 故用符号语言可表达为，，， 故选：A． 【变式探究】1. 用符号表示“点A在直线l上，l在平面α外”，正确的是(　B　) A．A∈l，l∉α　　　 B．A∈l，l⊄α C．A⊂l，l⊄α　　 D．A⊂l，l∉α 考点二 线线位置关系的判断 例3．正方体ABCD－A1B1C1D1中，与对角线AC1异面的棱有(　C　) A．3条　 B．4条　　 C．6条　 D．8条 [解析]　与AC1异面的棱有：A1D1，A1B1，DD1，CD，BC，BB1共6条． 例4．下列说法中正确的是(　B　) A．若两直线无公共点，则两直线平行 B．若两直线不是异面直线，则必相交或平行 C．过平面外一点与平面内一点的直线，与平面内任一直线均构成异面直线 D．和两条异面直线都相交的两直线必是异面直线 [解析]　对于A，空间两直线无公共点，则两直线可能平行，可能异面，故A不正确；对于C，过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内过该点的直线是相交直线，故C不正确；对于D，和两条异面直线都相交的两条直线还可能是相交直线，如图的三棱锥A－BCD中，l1与l2为异面直线，BC与AC均与l1，l2相交，但BC与AC也相交，故D不正确． 【变式探究】1. 在棱长为1的正四面体中，直线与是（    ）． A．平行直线 B．相