第十章 概率单元复习讲义-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

高2022级期末复习—— 新教材必修二第十章《概率》必备能力盘点 成功六必：书必读、基必牢、看必准、算必对、说必明、错必改——你都做到了吗？ 一、掌握每个知识点的典型类型的通性通法：重点知识再现、基本方法重温、基本技能过手. 二、归纳总结每类基本题型的方法及易错、易混、易漏点 §10.1随机事件与概率 一、基本知识、基本技能归纳 10.1．1有限样本空间与随机事件 (1)随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验E的样本空间。 (2)样本空间的子集称为随机事件，把只包含一个样本点的事件称为基本事件。 (3)常见样本空间的元素表示：2个元素时用平面坐标法如（1，2），3个元素时用空间坐标法如（1，2，3）。如果元素种类不同建议用不同的表示来代替元素，比如两种就用字母加数字，三种就字母加数字加汉字（甲乙丙等） (4) 常见样本空间的元素个数：4选2=6个；5选2或者5选3=10个；6选2或者6选4=15个；6选3=20个；7选2=21个；丢两枚骰子=36个 10.1.2．两个事件的关系和运算 含义 符号表示 包含关系 A发生导致B发生 A⊆B 相等关系 B⊇A且A⊇B A＝B 并事件(和事件) A与B至少一个发生 A∪B或A＋B 交事件(积事件) A与B同时发生 A∩B或AB 互斥(互不相容) A与B不能同时发生 A∩B＝∅ 互为对立 A与B有且仅有一个发生 A∩B＝∅，A∪B＝Ω 10.1.3．古典概型 (1)具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型． ①试验中所有可能出现的基本事件______________． ②每个基本事件出现的可能性________． 判断一个试验是不是古典概型要抓住两点： 一是 有限性； 二是 等可能性 （2）古典概型计算方法：一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率 其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数 注意：求解古典概型问题的一般思路：(I)明确试验的条件及要观察的结果，用适当的符号（字母、数字、数组等）表示试验的可能结果（借助图表可以帮助我们不重不漏地列出所有的可能结果）;(II)根据实际问题情境判断样本点的等可能性； (III)计算样本点总个数及事件A包含的样本点个数，求出事件A的概率. 10．1.4概率的基本性质 性质1：对任意的事件A，都有P(A)≥0； 性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(∅)＝0； 性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)； 性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)； 性质5：如果A⊆B，那么P(A)≤P(B)，由该性质可得，对于任意事件A，因为∅⊆A⊆Ω，所以0≤P(A)≤1. 性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)． 注意:常用结论:若事件A1，A2，…，An两两互斥，则P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)． 10.2事件的相互独立 1.设A,B两个事件,如果事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响(即P(AB)=P(A)P(B)), 则称事件A与事件B相互独立.简称独立. 显然:(1)必然事件 及不可能事件与任何事件A相互独立. (2)若事件A与B相互独立, 则以下三对事件也相互独立: ①② ③ 例如证① 相互独立, 2.相互独立事件的判断方法 (1)定义法：P(AB)=P(A)P(B) (2)直接法：由事件本身的性质直接判断两个事件的发生是否相互影响。 10.3频率与概率 10.3.1频率的稳定性 1.一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)，我们称频率的这个性质为频率的稳定性． 频率稳定性的作用：可以用频率fn(A)估计概率P(A)． 对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记着P(A)，称为事件A的概率，简称为A的概率。 2.频率与概率的区别和联系的剖析 (1) 区别:频率:本身是随机的观测值（试验值），在试验前无法确定，多数会随着试验的改变而变化，做同样次数的重复试验，得到的结果也会不同;概率:本身是固定的理论值，与试验次数无关，只与事件自身的属性有关 (2) 联系:频率是概率的试验值，会随试验次数的增大逐渐稳定；概率是频率理论上的稳定值，在实际中可用频率估计概率 3.常用结论 (1)为方便统一处理，将必然事件和不可能事件作为随机事件的两个极端