17.2勾股定理逆定理教案设计2023-2024学年人教版数学八年级下学期

第十七章　勾股定理 17.2　勾股定理的逆定理（第1课时）教学目标 1.体会勾股定理的逆定理的得出过程，掌握勾股定理的逆定理，并能利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形. 2.探究勾股定理的逆定理的证明方法. 3.熟记一些勾股数. 4.理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系. 教学重难点 重点：掌握勾股定理的逆定理及简单应用. 难点：勾股定理的逆定理的证明. 教学过程 导入新课 你能说出勾股定理吗？并指出定理的题设和结论. 学生独立回忆勾股定理，师生共同分析得出其题设和结论，教师引导指出勾股定理是从形的特殊性得出三边之间的数量关系. 追问：你有把勾股定理的题设与结论交换得到一个新的命题吗？ 师生共同得出新的命题，教师指出其为勾股定理的逆命题. 追问：“如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形.”能否把它作为判定直角三角形的依据呢？本节课我们一起来研究这个问题. 探究新知 教师演示：用一根打了13个等距离结的细绳子，在小黑板上，用钉子钉在第一个结上，再钉在第4个结上，再钉在第8个结上，最后将第十三个结与第一个结钉在一起.然后用三角尺量出最大角的度数，可以发现这个三角形是直角三角形.（这是古埃及人画直角的方法） 活动1：画一画——猜想定理 1.用圆规、刻度尺作△ABC，使AB＝5 cm，AC＝4 cm，BC＝3 cm，量一量∠C. 再画一个三角形，使它的三边长分别是5 cm，12 cm，13 cm，这个三角形有什么特征？ 2.为什么用上面的三条线段围成的三角形就一定是直角三角形呢？它们的三边有怎样的关系？（学生分组讨论，教师适当指导） 猜想结论：命题2：如果一个三角形的三边长a，b，c满足下面的关系a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形. 3.指出这个命题的题设和结论，对比勾股定理，理解互逆命题. 师生活动：学生利用准备好的学具进行观察实验，体会并总结勾股定理的逆定理，并指出命题的题设和结论，教师引导学生对比勾股定理，进一步理解互逆命题. 教师总结：命题2与上节的命题1的题设、结论正好相反，我们把像这样的两个命题叫做互逆命题，如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题. 师生活动 例1　写出下列命题的逆命题，并判断真假. （1）有两边相等的三角形是等腰三角形； （2）如果两个实数的绝对值相等，那这两个实数的平方也相等； （3）对顶角相等； （4）若a＝b，则a2＝b2. 解：（1）的逆命题是“等腰三角形有两边相等”，是真命题； （2）的逆命题是“如果两个实数的平方相等，那么这两个实数的绝对值也相等”，是真命题； （3）的逆命题是“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”，是假命题； （4）的逆命题是“若a2＝b2，则a＝b”，是假命题. 活动2：做一做——验证定理 4.△ABC的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2.如果△ABC是直角三角形，它应该与直角边是a，b的直角三角形全等.实际情况是这样吗？我们画一个直角三角形A′B′C′， 使∠C′＝90°，A′C′＝b，B′C′＝a.把画好的△A′B′C′剪下，放到△ABC上，它们重合吗？（学生分组动手操作，教师巡视指导） 用三角形全等的方法证明这个命题. 师生活动：由于难度较大，由教师示范证明过程. 已知：如图1所示，在△ABC中，AB＝c，BC＝a，AC＝b，并且a2+b2＝c2， 求证：∠C＝90°. 　　　　 图1　　　　　　　图2 证明：作△A′B′C′，使∠C′＝90°，A′C′＝b，B′C′＝a，如图2所示，那么A′B′2＝a2+b2（勾股定理）. 又∵ a2+b2＝c2（已知）， ∴ A′B′2＝c2，A′B′＝c（A′B′>0）. 在△ABC和△A′B′C′中， ∴ △ABC≌△A′B′C′（SSS）， ∴ ∠C＝∠C′＝90°，∴ △ABC是直角三角形. 师生总结：勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形. 教师强调：（1）勾股定理及其逆定理的区别.（2）勾股定理是直角三角形的性质定理，逆定理是直角三角形的判定定理. 活动3：议一议——积累知识 5.勾股数 教师介绍勾股数必须满足两个条件： ①以三个数为边长的三角形是直角三角形，即a2+b2＝c2（c为最长边）. ②三个数必须是正整数. 学生总结常见的勾股数：3，4，5；5，12，13；6，8，10；8，15，17；…. 6.判定一个三角形是直角三角形的方法有哪些？ 学生讨论后，小组展示成果，教师板书. ①如果一个三角形中有一个内角是90°或有两个内角互余，那么这个三角形是直角三角形. ②如果一个三角形的三边长分别为a，b，c（c为最长边），且满足a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形. 新知应用 例2