第一章 空间向量与立体几何 讲义-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册必备知识与能力盘点

高2022级期末复习——《空间向量与立体几何》 成功六必：书必读、基必牢、看必准、算必对、说必明、错必改——你都做到了吗？ 一、掌握每个知识点的典型类型的通性通法：重点知识再现、基本方法重温、基本技能过手. 二、归纳总结每类基本题型的方法及易错、易混、易漏点 选择性必修一第一章 《空间向量与立体几何》必备知识与能力盘点 1．空间向量及其运算 1.1空间向量及其有关概念 概念 语言描述 空间向量 在空间中，具有大小和方向的量 相等向量 方向相同且模相等的向量 相反向量 方向相反且模相等的向量 共线向量 (或平行向量) 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量 共面向量 平行于同一个平面的向量 共线向量(平行向量) 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合 共面向量 平行于同一个平面的向量 1.2空间向量及其线性运算 1.2.1空间向量的线性运算基本技巧：用已知向量表示未知向量的解题策略 (1)用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键． (2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则． (3)在立体几何中要灵活应用三角形法则，向量加法的平行四边形法则在空间仍然成立． 1.2.2共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb. 应用：证明空间三点P，A，B共线的方法 (1) ＝λ (λ∈R)；（2）对空间任一点O，＝＋t (t∈R)； (3)对空间任一点O，＝x＋y (x＋y＝1)． 1.3数量积 1.3.1两向量的夹角：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉，其范围是[0，π]，若〈a，b〉＝，则称a与b互相垂直，记作a⊥b. 1.3.2两向量的数量积：非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉. 1.3.3.空间向量数量积的运算律 (1)结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；(2)交换律：a·b＝b·a；(3)分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c. 易错提醒：向量的数量积满足交换律、分配律，即a·b＝b·a，a·(b＋c)＝a·b＋a·c成立，但不满足结合律，即(a·b)·c＝a·(b·c)不一定成立. 1.3.4空间向量数量积的三个应用 （1） 求夹角：设向量a，b所成的角为θ，则cos θ＝； （2） 求长度(距离)：运用公式|a|2＝a·a，可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题 （3）解决垂直问题 利用a⊥b⇔a·b＝0(a≠0，b≠0)，可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题 举一反三1：（2023春·江苏常州·高二江苏省溧阳中学校考阶段练习）在棱长为1的正方体中，为棱上任意一点，则=_______. 【答案】1 【解析】如图，在正方体中，为棱上任意一点，则，， . 故答案为：1. 举一反三2： 如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是，为与的交点，若，，，则下列正确的是（ ） A. B. C. 的长为 D. 【答案】AD 【解析】A选项，，A正确， B选项，，B错误： C选项，， 则 ，则，C错误： D选项，对于， ， 故，又，则，D正确. 故选：AD. 举一反三3： 如图，在四面体中，，，，点为的重心，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】因为为的重心，则， 即，所以，， 所以， ，故.故选：C. 2.空间向量基本定理： 2.1基底：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，其中，{a，b，c}叫做空间的一个基底. 2.2空间向量基本定理 定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}使得p＝xa＋yb＋zc 推论：设O，A，B，C是不共面的四点，则对平面ABC内任一点P都存在唯一的三个有序实数x，y，z，使＝x＋y＋z且x＋y＋z＝1 举一反三1：我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面四棱锥称为阳马.已知四棱锥是阳马，平面，且，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 举一反三2：（2023秋·山东·高三山东省实验中学校考阶段练习）已知空间四边形ABCD的对角线为AC与BD，M，N分别为线段AB，CD上的点满足，，点G在线段MN上，且满足，若，则__________. 【答案】 【解析】,又， 故， 而， 所以， 因为不共面，故，所以