专题05 直线与抛物线方程（知识梳理精讲）-【赢在寒假】2024年高二数学寒假专项课精讲与精练（新教材人教A版2019）

专题05 直线与抛物线方程 知识点一：抛物线的定义 1、抛物线的定义：平面内与一个定点和一条定直线（其中定点不在定直线上）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线． 2、抛物线的数学表达式：(为点到准线的距离). 例1．（1）、（2023上·福建厦门·高二福建省厦门第二中学校考阶段练习）已知点是抛物线上的一动点，焦点为，若定点，则当点在抛物线上移动时，的最小值等于（    ） A． B．2 C．3 D．4 （2）、（2023上·天津滨海新·高三天津市滨海新区塘沽第一中学校考阶段练习）已知双曲线的右焦点恰好是抛物线的焦点，且为抛物线的准线与x轴的交点，N为抛物线上的一点，且满足，则点到直线的距离为（    ） A． B．1 C． D．2 （3）、（2023上·湖南衡阳·高二校考期末）（多选题）已知，是抛物线上两点，焦点为F，抛物线上一点到焦点的距离为，下列说法正确的是（    ） A． B．若，则直线恒过定点 C．若的外接圆与抛物线的准线相切，则该圆的半径为 D．若，则直线的斜率为 1、（2022上·河南新乡·高二校考期末）已知点在抛物线上，是抛物线的焦点，点为直线上的动点，则的最小值为（    ） A．8 B． C． D． 2、（2023上·福建厦门·高二厦门一中校考阶段练习）已知抛物线的焦点，准线为是上一点，是直线与的交点，若，则（    ） A．4 B． C．2 D． 3．（2023上·江西南昌·高二江西师大附中校考期中）已知F是抛物线的焦点，P为抛物线上的动点，且点A的坐标为，则的最小值是 . 知识点二：抛物线的标准方程和几何性质 标准方程 （） （） （） （） 图形 范围 ， ， ， ， 对称轴 轴 轴 轴 轴 焦点坐标 准线方程 顶点坐标 离心率 通径长 例2．（1）、（2023上·北京顺义·高二牛栏山一中校考期中）已知抛物线：的焦点为F，准线为，则F到的距离是 ；若斜率为的直线经过焦点F在第一象限与抛物线交于点M，过M作垂直于于点N，则的面积为 ． （2）、（2023上·河北沧州·高二校联考期中）抛物线有一个重要性质：平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线经过抛物线的焦点．过点且平行于轴的一条光线射向抛物线：上的点，经过反射后的反射光线与相交于点，则（    ） A． B．24 C．32 D． 1、（2023上·江苏·高二淮阴中学校联考阶段练习）设抛物线的焦点为，准线与轴交于，过抛物线上一点作的垂线，垂足为.若，与相交于点，且点是的重心，则点到轴的距离为 . 2、（2023·河北唐山·迁西县第一中学校考二模）已知抛物线，直线与C的一个交点为M，F为抛物线C的焦点，O为坐标原点，若，则（    ） A． B． C． D． 知识点三：抛物线的焦半径公式如下：（为焦准距） （1）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则； （2）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则； （3）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则； （4）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则. 例3、（2023上·湖北黄石·高二校联考阶段练习）已知抛物线的焦点为，点为上一点，且以为圆心，为半径的圆恰好与的准线相切（为坐标原点），过点的且斜率的直线与交于，两点. (1)求的标准方程； (2)若点，直线与的另一个交点分别为，设的倾斜角角分别为，当取最大值时，求的值. 1．（2023上·江西·高二校联考阶段练习）已知抛物线的焦点为，点在上，且的最小值为1. (1)求的方程； (2)过点的直线与相交于，两点，过点的直线与相交于，两点，且，不重合，判断直线是否过定点.若是，求出该定点；若不是，请说明理由. 2．（2023上·江苏南京·高二南京师大附中校考期中）已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，且. (1)求抛物线的方程，并写出焦点坐标； (2)过焦点的直线与抛物线交于，两点，若点满足，求直线的方程. 3．（2023上·江西吉安·高三吉安一中校考期中）已知抛物线：（）的焦点也是椭圆：的一个焦点，是与在第一象限的公共点. (1)求抛物线的方程； (2)过点作斜率为的直线与交于两点，与交于两点，且与同向. （i）当直线绕点旋转时，判断的形状； （ii）若，求直线的斜率. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 直线与抛物线方程 知识点一：抛物线的定义 1、抛物线的定义：平面内与一个定点和一条定直线（其中定点不在定直线上）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做