专题04 直线与双曲线方程（知识梳理精讲）-【赢在寒假】2024年高二数学寒假专项课精讲与精练（新教材人教A版2019）

专题04 直线与双曲线方程 知识点一 双曲线的定义及简单的几何性质 例1．（1）、（2023上·天津滨海新·高三塘沽二中校考阶段练习）“”是“方程表示双曲线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 （2）、（2023上·天津滨海新·高三天津市滨海新区塘沽第一中学校考阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，椭圆的上顶点为，且，双曲线和椭圆有相同焦点，且双曲线的离心率为为曲线与的一个公共点．若，则（    ） A． B． C．3 D． 1、（2023·四川甘孜·统考一模）已知圆与中心在原点､焦点在坐标轴上的双曲线的一条渐近线相切，则双曲线的离心率为（    ） A． B．3 C．或 D．或 2、（2023上·内蒙古赤峰·高三赤峰二中校考阶段练习）已知A，B，C是双曲线（，）上的三点，直线AB经过原点O，AC经过右焦点F，若，且，则该双曲线的离心率为 ． 知识点二 中点弦问题 例2．（1）、（2023·陕西宝鸡·校联考模拟预测）已知双曲线：的右焦点为，过点的直线交双曲线E于A、B两点.若的中点坐标为，则E的方程为（    ） A． B． C． D． （2）、（2023·上海闵行·上海市七宝中学校考二模）不与轴重合的直线经过点，双曲线：上存在两点A，B关于对称，AB中点M的横坐标为，若，则的值为 . 1、（2024上·内蒙古呼和浩特·高三统考开学考试）已知双曲线C：，若双曲线C的一条弦的中点为，则这条弦所在直线的斜率为（    ） A． B． C．1 D． 2、（2023上·云南·高二校联考阶段练习）已知双曲线，，是上的两点，是的中点，为坐标原点，直线的斜率为，则直线的斜率为 ． 例3．（2023上·山东潍坊·高二统考阶段练习）已知双曲线：的一个焦点为，一条渐近线方程为，为坐标原点. (1)求双曲线的标准方程； (2)已知倾斜角为的直线与双曲线交于两点，且线段的中点的纵坐标为4，求弦长. 1．（2022上·陕西咸阳·高二咸阳市实验中学校考阶段练习）已知双曲线的右焦点为，虚轴长为． (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线交于两点，且线段的中点为，求直线的方程． 知识点三 弦长问题 【解题方法】弦长公式 例4．（1）、（2023上·辽宁·高二校联考阶段练习）若直线与双曲线相交于两点，则 ； （2）、（2023上·高二课前预习）弦长公式 已知直线与双曲线交于两点，则 1、（2023·天津武清·天津市武清区杨村第一中学校考模拟预测）已知为坐标原点，双曲线的右焦点为，以为直径的圆与的两条渐近线分别交于与原点不重合的两点，，若，则四边形的面积为（    ） A．6 B． C． D．4 2、（2023·广西·校联考模拟预测）已知双曲线的左､右焦点分别为，过点且与轴垂直的直线与双曲线交于两点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 知识点四 三角形问题 例5．（1）、（2023上·浙江杭州·高二统考期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点作直线交两条渐近线于点，，且．若点在轴上的射影为，则 ． （2）、（2023上·四川成都·高三校考期中）设、分别是双曲线：的左、右两个焦点，为坐标原点，点在上且，则的面积为（   ） A．5 B．10 C． D．20 1、（2023下·全国·高二合肥市第六中学校联考开学考试）若，是双曲线：的两个焦点，，为上关于坐标原点对称的两点，且，设四边形的面积为，四边形的外接圆的面积为，则 ． 2、（2022上·高二校考单元测试）已知离心率为的双曲线C：的左、右焦点分别为，M是双曲线C的一条渐近线上的点，且，O为坐标原点，若，则双曲线的实轴长是（    ） A．32 B．16 C．84 D．4 知识点五 直线与双曲线的位置关系 【解题方法】联立+判别法 例6．（2023·全国·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，点，且的面积为． (1)求双曲线的标准方程； (2)直线交轴于点，与双曲线的左、右两支分别交于点E，F（不同于点A），记直线AE，AF分别与直线交于点M，N，证明：是的中点． 1、（2023上·河北廊坊·高三河北省文安县第一中学校联考期中）已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为. (1)求双曲线的方程. (2)已知双曲线的左､右顶点分别为，直线与双曲线的左､右支分别交于点（异于点），设直线的斜率分别为，若点）在双曲线上，证明为定值，并求出该定值. 2、（2023上·安徽·高三校联考阶段练习）已知双曲线分别是的左、右焦点．若的离心率，且点在上． (1)求的方程． (2)若过点的直线与的