22.1二次函数的图象和性质讲义2023-2024学年人教版数学九年级上册

22.1二次函数的图象和性质 知识梳理 1.二次函数的概念 一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数，而可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2.二次函数的结构特征 ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2． ⑵ 是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项. 3.二次函数基本形式 的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 轴 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 轴 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 的性质： 上加下减。 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 轴 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 轴 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 的性质： 左加右减。 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 X=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 X=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 的性质： 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 X=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 X=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 4.二次函数图象的平移 平移步骤： 方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标； ⑵ 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下： 平移规律 在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二： ⑴沿轴平移:向上（下）平移个单位，变成 （或） ⑵沿轴平移：向左（右）平移个单位，变成（或） 5.二次函数的性质 （1）当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为． 当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；当时，有最小值． （2） 当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为．当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，有最大值． 6.二次函数解析式的表示方法 （1）一般式：（，，为常数，）； （2）顶点式：（，，为常数，）； （3） 两根式：（，，是抛物线与轴两交点的横坐标）. 基础训练 一、单选题 1．若是二次函数，则的值为（ ） A．0或-3 B．0或3 C．3 D．0 2．将抛物线y=﹣2（x+3）2+1向左平移2个单位，再向上平移1个单位后所得到的抛物线的解析式为（　　） A．y=2（x+1）2 B．y=﹣2（x+5）2+2 C．y=﹣2（x+5）2+3 D．y=﹣2（x﹣5）2﹣1 3．如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象，给出下列说法：①ab＜0；②方程ax2+bx+c=0的根为x1=-1，x2=3；③a+b+c＞0；④当x＜1时，y随x值的增大而增大；⑤当y＞0时，x＜-1或x＞3．其中，正确的说法有（　　） A． B． C． D． 4．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（x1，0）、（2，0），且﹣2＜x1＜﹣1，与y轴正半轴的交点在（0，2）的下方，则下列结论： ①abc＜0；②b2＞4ac；③2a+b+1＜0；④2a+c＞0． 则其中正确结论的序号是 A．①② B．②③ C．①②④ D．①②③④ 5．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图，下列结论正确的是（ ） A．2a－b＝0 B．b>0 C．a＋b＋c>0 D．4a－2b＋c<0 6．当函数是二次函数时，a的取值为（　　） A． B． C． D． 7．不论m为何实数，抛物线y＝x2－mx＋m－2（ 　） A．在x轴上方 B．与x轴只有一个交点 C．与x轴有两个交点 D．在x轴下方 8．从如图所示的二次函数y=ax2+bx+c的图象中，观察得出了下面五条信息：①c＜0；  ②abc＞0  ③a-b+c＞0  ④2a+b＞0  ⑤4a+2b+c＜0．你认为其中正确的信息个数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 9．如图，已知顶点为（﹣3，﹣6）的抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，﹣4），则下列结论中错误的是（　　） A．b2＞4ac B．ax2+bx+c≥﹣6 C．关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣4的两根分别为﹣5和﹣1 D．若点（﹣2，m），（﹣5，n）在抛物线上，则m＞n 10．将二