5.2.2导数的四则运算法则 2023-2024学年高二数学教材配套教学精品课件（人教A版2019选择性必修第二册）

人教A版 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 5.2 导数的运算 5.2.2 导数的四则运算法则 教学目标 1.理解函数的和、差、积、商的求导法则． 2.理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数． 3.利用导数的运算法则解决有关问题． 01 复习导入 复习导入 基本初等函数的导数公式： 02 导数的四则运算 新知探究 如果两个已知函数的导数会求或易求，引进四则运算的求导法则，就能得到两个函数的和、差、积、商的导数，就可以将比较复杂的函数的导数问题，化为会求或易求的函数的导数问题，从而使许多函数的求导过程得到简化. 思考：实数有四则运算法则，那么导数呢？学习导数的运算法则有什么用处？ 新知探究 l l 问题1：设，计算与，它们与和有什么关系？再取几组函数试试，上述关系仍然成立吗？由此你能想到什么？ 设， 因为 所以 而 ∴ 新知探究 同样地，对于上述函数. 一般地，对于两个函数和的和(或差)的导数，我们有如下法则： 新知探究 练习：求下列函数的导数： (1)；(2). l 解：(1) (2) 新知探究 导数的运算法则1: 一般地，对于两个函数f(x)和 g(x)的和(或差)的导数，我们有如下法则： 即:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的和(差) 特别地，和与差的运算法则可以推广 （1）[f 1(x)±f 2(x)±…±fn (x)]′＝f 1′(x)±f2 ′(x)±…±f n′(x) （2）[af(x)＋bg(x)]′＝af′(x)＋bg′(x)(a，b为常数) 新知探究 问题2：设，，计算与，它们是否相等？与商的导数是否等于它们导数的商呢？ 通过计算可知，，， 因此.同样地，与也不相等. 事实上，对于两个函数和的乘积(或商)的导数，我们有如下法则： 新知探究 事实上，对于两个函数f(x)和 g(x)的积的导数，我们有如下法则： 导数的运算法则2: 即：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数 特别地，常数与函数的积的导数，等于常数与函数的导数的积， 即 新知探究 导数的运算法则3: 即 ：两个函数的商的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数 ,再除以第二个函数的平方. 事实上，对于两个函数f(x)和 g(x)的商的导数，我们有如下法则： 特别地，常数与函数的商的导数 即 新知探究 练习：求下列函数的导数： (1)；(2). l 解：(1) (2) 新知探究 两函数乘积（商）的导数运算法则的特殊情形 2. ； 3. ． 1. 一般地，对于两个函数可导 和 ，有如下法则： （1） （ 为常数）； （2） （ ， 为常数）． （3） 导数的运算法则 03 例题探究 新知探究 新知探究 新知探究 新知探究 新知探究 练习：求下列函数的导数： (1)；(2)；(3)(4). 解(1)： (2)： (3)： (4)：∵∴ 新知探究 新知探究 例2.设且，，求的值. 解(1)： 由，，得 解得∴，的值分别为，. 题型二　与切线有关的综合问题 新知探究 例3.已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； 解(1)：可判定点在曲线上. ∵， ∴在点处的切线的斜率为. ∴切线的方程为，即. 新知探究 例3.已知函数. (2)直线为曲线的切线，且经过原点，求直线的方程及切点坐标； 解(2)：设切点为 则直线的斜率为， ∴直线的方程为， 又∵直线过点， ∴.整理得 ∴. ∴直线的方程为，切点坐标为. 新知探究 例3.已知函数. (3)如果曲线的某一切线与直线垂直，求切点坐标与切线的方程. 解(3)：∵切线与直线垂直， ∴切线的斜率. 设切点坐标为，则，即 ∴或即切点为或. 切线方程为或.即或. 新知探究 方法总结 解决有关切线问题的关注点 （1）此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素． （2）准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确． （3）分清已知点是否在曲线上，若不在曲线上，则要设出切点，这是解题时的易错点．另外有的点虽然在切线上，但是经过该点的切线不一定只有1条，即该点有可能是切点，也可能是切线与曲线的交点，解题时注意不要漏解． 04 课堂小结 课堂小结 题型一　利用运算法则求函数的导数 例1.根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数． (1)y＝x2－2x－4ln x； (2)y＝x·tan x； (3)y＝eq \f(x,ex)； (4)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)； (5)y＝x＋sin eq \f(x,2)cos