7.3.2离散型随机变量的方差 （教学设计）-【上好课】高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第三册）

7.3.2离散型随机变量的方差 教学设计 1、 课时教学内容 离散型随机变量的均值的概念与计算;离散型随机变量的性质应用. 2、 课时教学目标 1.理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念. 2.能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题. 3.掌握方差的性质以及两点分布的方差的求法，会利用公式求它们的方差． 3、 教学重点、难点 1. 重点：离散型随机变量的方差、标准差的概念及其应用. 2. 难点：利用离散型随机变量的方差、标准差解决一些实际问题. 4、 教学过程设计 环节一 创设情境，引入课题 引导语：离散型随机变量的分布列全面地刻画了这个随机变量的取值规律.但在解决有些实际问题时,直接使用分布列并不方便. 例如,要比较不同班级某次考试成绩,通常会比较平均成绩;要比较两名射箭运动员的射箭水平,一般会比较他们射箭的成绩(平均环数或总环数)以及稳定性. 因此,类似于研究一组数据的均值和方差,我们也可以研究离散型随机变量的均值和方差,它们统称为随机变量的数字特征. 随机变量的均值是一个重要的数字特征，它反映了随机变量取值的平均水平或分布的“集中趋势”．因为随机变量的取值围绕其均值波动，而随机变量的均值无法反映波动幅度的大小．所以我们还需要寻找反映随机变量取值波动大小的数字特征． 【设计意图】通过谈话，引入课题. 探究1：从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛．根据以往的成绩记录，甲、乙两名 同学击中目标靶的环数X和Y的分布列如表7.3-6和表7.3-7所示． 表7.3-6 表7.3-7 X 6 7 8 9 10 Y 6 7 8 9 10 P 0.09 0.24 0.32 0.28 0.07 P 0.07 0.22 0.38 0.30 0.03 如何评价这两名同学的射击水平？ 【师生活动】教师提出探究问题，引导学生分析. 师：能不能用我们上一节课学习的均值分析这一问题？同学们尝试一下. 学生运算求解，求出甲、乙两名同学击中目标靶的环数的均值. 通过计算可得，，． 因为两个均值相等，所以根据均值不能区分这两名同学的射击水平． 追问1：平均水平相同，是不是这两名同学的射击水平就没有差距呢？我们还能不能从其他角度进一步考察这两名同学的射击水平呢？ 评价射击水平，除了要了解击中环数的均值外，还要考虑稳定性，即击中环数的离散程度．图7.3-2和图7.3-3分别是X和Y的概率分布图，比较两个图形，可以发现乙同学的射击成绩更集中于8环，即乙同学的射击成绩更稳定． 追问2：从图中你能发现什么？ 发现乙同学的射击成绩更集中于8环，即乙同学的射击成绩更稳定. 追问3：上面的结论我们是通过观察概率分布图直观得到的，怎样定量刻画离散型随机变量取值的离散程度？ 【设计意图】通过具体的问题情境，让学生积极思考、参与互动，从而引入离散型随机变量的方差的概念，发展学生的逻辑推理、数学运算和数学抽象核心素养.通过问题1、问题2,为引入离散型随机变量的方差的概念作准备. 环节二 观察分析，感知概念 设离散型随机变量X的分布列如表7.3-8所示． 表7.3-8 … … 考虑所有可能取值与的偏差的平方，，……，．因为取每个值的概率不尽相同，所以我们用偏差平方关于取值概率的加权平均，来度量随机变量取值与其均值的偏离程度．我们称 为随机变量的方差（variance），有时也记为，并称为随机变量的标准差（standard deviation），记为． 随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度．方差或标准差越小，随机变量的取值越集中；方差或标准差越大，随机变量的取值越分散． 教师提问：我们知道，样本方差可以度量一组样本数据的离散程度，它是通过计算所有数据与样本均值的“偏差平方的平均值”来实现的.一个自然的想法是，随机变量的离散程度能否用可能取值与均值的“偏差平方的平均值”来度量呢？ 学生讨论,得出：可以用偏差平方关于取值概率的加权平均，来度量随机变量X取值与其均值E(X)的偏离程度. 【设计意图】让学生经历离散型随机变量的方差概念的建构过程，进一步体会从特殊到一般的思想，培养学生归纳、类比等合情推理的能力，提升数学抽象、逻辑推理等核心素养. 环节三 抽象概括，形成概念 现在，可以用两名同学射击成绩的方差和标准差来刻画他们射击成绩的稳定性．由方差和标准差的定义，两名同学射击成绩的方差和标准差分别为 ，； ，． 因为（等价地，），所以随机变量的取值相对更集中，即乙同学的射击成绩相对更稳定． 在方差的计算中，利用下面的结论经常可以使计算简化． ． 【设计意图】让学生利用方差和标准差的定义求解探究1提出的