专题18 双曲线的标准方程的求算及重点性质考察（期末选择题18）-2023-2024学年高二数学上学期期末题型秒杀技巧及专项练习（人教A版2019）

专题18 双曲线的标准方程的求算及重点性质考察 （期末选择题18） （原卷版） 题型1 双曲线的标准方程的求算 技巧：求双曲线的标准方程的方法 (1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，由双曲线定义，确定2a,2b或2c，从而求出a2，b2，写出双曲线方程 (2)待定系数法：先确定焦点在x轴还是y轴，设出标准方程，再由条件确定a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为－＝λ(λ≠0)，再根据条件求λ的值 工具：双曲线的标准方程 标准方程的推导： 如何建立双曲线的方程？根据求曲线方程的一般步骤，可分：（1）建系设点；（2）点的集合；（3）代数方程；（4）化简方程等步骤． （1）建系设点 取过焦点、的直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴 （2）建立直角坐标系． 设为双曲线上任意一点，双曲线的焦距是（），那么F1、F2的坐标分别是、．又设点M与、的距离的差的绝对值等于常数． （2）点的集合 由定义可知，双曲线就是集合：． （3）代数方程 ∵，∴ （4）化简方程 将这个方程移项，两边平方得： 化简得：两边再平方，整理得： 由双曲线定义，即c＞a，所以． 设，代入上式得：即，其中这就是双曲线的标准方程． 双曲线的标准方程： 1、当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中； 2、当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中 标准方程统一为： 秒杀：方程（A、B、C均不为零）表示双曲线的条件 方程可化为，即， 所以只有A、B异号，方程表示双曲线．当，时，双曲线的焦点在x轴上； 当，时，双曲线的焦点在y轴上． 注意： ①当且仅当双曲线的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，双曲线的方程才是标准方程形式．此时，双曲线的焦点在坐标轴上． ②双曲线标准方程中，a、b、c三个量的大小与坐标系无关，是由双曲线本身所确定的，分别表示双曲线的实半轴长、虚半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：，，且． ③双曲线的焦点总在实轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看、的系数，如果项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果项的系数是正的，那么焦点在y轴上． ④对于双曲线，不一定大于b，因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点在哪一条坐标轴上． 形如1：求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程． (1)中心在原点，实轴在轴上，一个焦点坐标为的等轴双曲线； (2)椭圆的中心在原点，焦点在轴上，焦距为，且它的一个顶点坐标为． 破解：（1）解：设等轴双曲线的标准方程为，则，可得， 因此，所求双曲线的标准方程为. （2）解：设椭圆的标准方程为，则，，， 因此，所求椭圆的标准方程为. 形如2：已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上一点P与F1，F2的距离差的绝对值等于6，则双曲线的标准方程为（　　） A．－＝1 B．－＝1 C．－＝1 D．－＝1 破解：根据双曲线的定义，可得，，由焦点位置可求双曲线的标准方程. 由题意，，，则，， 由两焦点在轴上，所以双曲线的标准方程为. 故选：C． 形如3：以为焦点且过点P(2,1)的双曲线方程是（    ） A． B． C． D． 破解：由题意得双曲线破解：焦点在x轴上且c=， 设双曲线的标准方程为(a>0，b>0)， 则有a2+b2=c2=3，，解得a2=2，b2=1， 故所求双曲线的标准方程为 故选：A 1．已知双曲线的左、右焦点分别为，点M为关于渐近线的对称点.若，且的面积为4，则C的方程为（    ） A． B． C． D． 2．与双曲线有相同渐近线，且与椭圆有共同焦点的双曲线方程是（    ） A． B． C． D． 3．已知双曲线的渐近线方程为，且经过点，则的标准方程为（    ） A． B． C． D． 4．已知等轴双曲线的对称轴为坐标轴，且经过点，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 5．以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 6．已知点，，动点满足条件，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 7．已知焦点在轴上的双曲线的焦距为，实半轴为1，则双曲线的方程为（ ） A． B． C． D． 8．双曲线的一个顶点为，焦点到渐近线的距离为，则双曲线方程是（    ） A． B． C． D． 9．以椭圆的焦点为顶点，以椭圆的顶点为焦点的双曲线的方程是（    ） A． B． C． D． 10．与椭圆：共焦点且过点的双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 11．已知双曲线的焦距为，且双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 12．已知双曲线：的右焦点为，过点的直线交双曲线E于A、B两点.若的中点坐标为，则E的方程为（    ） A