复习02讲 函数的性质及其应用（精讲+精练）2024年高一数学寒假自学提升课（人教A版2019必修第二册）

2024年高一数学寒假自学精品课（人教A版2019必修第二册） 复习02讲 函数的性质及其应用（精讲+精练） ①函数的单调性 ②函数的奇偶性 ③函数的周期性 ④函数的对称性 ⑤函数性质的综合应用 一、函数的单调性 （1）增函数：若对于定义域内的某个区间上的任意两个自变量、，当时，都有，那么就说函数在区间上是增函数； （2）减函数：若对于定义域内的某个区间上的任意两个自变量、，当时，都有 ，那么就说函数在区间上是减函数. （3）【特别提醒】 ①单调区间只能用区间表示，不能用不等式或集合表示． ②有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”连接，也不能用“或”连接，只能用“逗号”或“和”连接． 【单调性常用结论】 1.∀x1，x2∈D(x1≠x2)，⇔f(x)在D上是增函数；⇔f(x)在D上是减函数． 2.对勾函数y＝ (a＞0)的增区间为(－∞，－]和[，＋∞)，减区间为[－，0)和(0，]． 3.当f(x)，g(x)都是增(减)函数时，f(x)＋g(x)是增(减)函数． 4.若k＞0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k＜0，则kf(x)与f(x)的单调性相反． 5.函数y＝f(x)在公共定义域内与y＝的单调性相反． 6.复合函数y＝f[g(x)]的单调性与函数y＝f(u)和u＝g(x)的单调性关系是“同增异减”． 二、函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数 关于轴对称 奇函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做奇函数 关于原点对称 注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个，也在定义域内(即定义域关于原点对称)． 三、函数的对称性 (1)若函数为偶函数，则函数关于对称． (2)若函数为奇函数，则函数关于点对称． (3)若，则函数关于对称． (4)若，则函数关于点对称． 四、函数的周期性 （1）周期函数：对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称为这个函数的周期. （2）最小正周期：如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么称这个最小整数叫做的最小正周期. 【奇偶性、对称性、周期性常用结论】 1.奇偶性技巧 （1）若奇函数在处有意义，则有； （2）对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶； 奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶. (3)常见奇偶性函数模型 奇函数：①函数或函数．②函数． ③函数或函数 ④函数或函数． 注意：关于①式，可以写成函数或函数． 偶函数：①函数．②函数．③函数类型的一切函数． 2.周期性技巧 3.函数的的对称性与周期性的关系 （1）若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且； （2）若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且； （3）若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且. 4.对称性技巧 （1）若函数关于直线对称，则． （2）若函数关于点对称，则． （3）函数与关于轴对称，函数与关于原点对称． ①函数的单调性 策略方法　1.定义法证明函数单调性的步骤 2.判断函数单调性的四种方法 (1)图象法；(2)性质法；(3)定义法． 【题型精练】 一、单选题 1．下列函数中，在定义域上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 2．函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 3．函数是定义在上的增函数，则不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 4．函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 5．若函数的定义域为，值域为则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．已知函数，则函数（    ） A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．在上单调递增 D．在上单调递减 7．函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 8．已知定义在上的函数满足，对任意的，且，恒成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 9．若函数在上是增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．已知函数满足对任意的都有，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．函数，则不等式的解集为 ． 12．函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为 . 13．若函数的图象经过定点，则函数的单调增区间为 . 14．已知函数，若在R上是增函数，则实数a的取值范围是 . 15．函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为 . 三、解答题 16．已知函数的图象经过点． (1)求函数的解析式； (2