6.2.1 向量的加法运算（导学案）-【上好课】高一数学同步备课系列（人教A版2019必修第二册）

第六章 平面向量 6.2.1 向量的加法运算 导学案 【学习目标】 1.借助实例掌握平面向量加法运算及运算规则，培养数学抽象的核心素养； 2.理解平面向量加法运算的几何意义，提升数学抽象的核心素养； 3.会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，提升直观想象的核心素养. 【学习重点】 理解并掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则; 【学习难点】 向量加法的几何意义及运算律. 【课前回顾】 1.向量、平行（共线）向量、相等向量的含义分别是什么？ 2.用有向线段表示向量，向量的大小和方向是如何反映的？什么叫零向量和单位向量？ 【新课导学】 环节1：创设情境，生成问题 俄罗斯著名寓言作家克雷洛夫在他所著的《克雷洛夫寓言》中有一篇《天鹅、梭子鱼和虾》的故事,故事的大意是这样的:有一天,天鹅、梭子鱼和虾一起拉一车货物,天鹅想,我的家在天上应该把货物拉到我家,于是,天鹅伸长脖子拼命往天上飞.梭子鱼想,我的家在河里,应该往河里拉于是,梭子鱼使劲往河里拽.虾想,我的家在池塘里,应该把货送到池塘,"于是,虾弓着身子往池塘拉,他们三个累得精疲力尽,车子却纹丝不动. 问题1:车子为什么纹丝不动?这则故事给我们的启示是什么? 问题2: 我们知道，数量能进行运算，因为有了运算而使数的成力无穷,那么，向量是否也能像数一样进行运算呢? 情境一：有一名游客想去C地游玩，但是由于当天没有直达C地的航班，因此他选择了这样一个出行方案：乘飞机先从A地飞往B地，再从B地飞往C地（如图）. 思考：这两次的位移之和可以用哪一个向量表示? 由此可得什么结论? 情境二：在光滑的平面上，一个物体同时受到两个外力F1与F2 的作用，你能作出这个物体所受的合力F 吗? 思考:通过以上两个情境，如何定义两个向量的加法运算? 环节2：推陈出新，建构新知 活动1：向量的加法运算 1.向量加法的定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法。 2.向量的加法运算法则 （1）三角形法则 已知非零向量a，b，在平面上任取一点A，作＝a，＝b，则向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝.这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则。 记忆口诀：首尾相接首尾连（作平移，首尾连，由起点指终点）． 位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型. 思考：若向量和共线，它们的和向量能否用三角形法则作出？ 思考：如果＋＝，那么A，B，C三点一定能构成三角形吗？ （2）平行四边形法则 以同一点为起点的两个已知向量,,以为邻边作,则以为起点的向量是的对角线)就是向量与的和.我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则. 记忆口诀：共起点，连对角（作平移，共起点，四边形，对角线） 力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型. 活动2：向量的加法及其运算法则的理解 思考：零向量与任一非零向量，能否求出他们的和向量? 思考：两个向量的和还是向量吗？ 思考：向量加法的平行四边形法则和三角形法则一致吗?为什么? 例1 如图6.2-5，已知向量 a，b，求作向量 a+b. 变式：如图，已知向量a，b，c，求作和向量a＋b＋c. 【方法小结】应用三角形法则、平行四边形法则作向量和时需注意的问题： (1)三角形法则可以推广到n个向量求和，作图时要求“首尾相连”．即n个向量首尾相连的向量的和对应的向量是第一个向量的起点指向第n个向量的终点的向量． (2)平行四边形法则只适用于不共线的向量求和，作图时要求两个向量的起点重合． (3)当两个向量不共线时，两个法则实质上是一致的，三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出的图形的一半，在多个向量的加法中，利用三角形法则更为简便． 环节3：辨析理解，深化概念 思考：若向量a和b共线，它们的加法与数的加法有什么关系? 你能否做出向量a +b? 思考：你们能发现|a +b|，|a |，|b|之间的关系吗？（请分组讨论） 【牛刀小试】如果=8，=5，那么的取值范围为 . 思考：数的加法满足交换律、结合律，向量的加法是否也满足交换律和结合律呢？ 如图（1），你能否验证a+b=b+a？ 由图（2），你能否验证 ？ 综上所述，向量的加法满足交换律和结合律. 向量加法的运算律 交换律 结合律 【方法小结】向量加法运算律的意义和应用原则 (1)意义：向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现恰当利用向量加法法则运算的目的.实际上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行. (2)应用原则：利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序. 环节4：应用新知，解决问题 例2：化简：(1)＋； (2)＋＋； (3)＋＋＋＋. 变式：如图