（课件）第9章 9.1 线性回归分析-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册(苏教版2019)

第9章 统计 9.1　线性回归分析 1 9.1　线性回归分析 必备知识·情境导学探新知 1 关键能力·合作探究释疑难 课时分层作业 2 5 学习效果·课堂评估夯基础 3 阅读材料·拓展数学大视野 4 2 9.1　线性回归分析 必备知识·情境导学探新知 1 关键能力·合作探究释疑难 课时分层作业 2 5 学习效果·课堂评估夯基础 3 阅读材料·拓展数学大视野 4 3 必备知识·情境导学探新知 01 知识点1 知识点2 知识点3 9.1　线性回归分析 必备知识·情境导学探新知 1 关键能力·合作探究释疑难 课时分层作业 2 5 学习效果·课堂评估夯基础 3 阅读材料·拓展数学大视野 4 4 9.1　线性回归分析 必备知识·情境导学探新知 1 关键能力·合作探究释疑难 课时分层作业 2 5 学习效果·课堂评估夯基础 3 阅读材料·拓展数学大视野 4 5 函数 9.1　线性回归分析 必备知识·情境导学探新知 1 关键能力·合作探究释疑难 课时分层作业 2 5 学习效果·课堂评估夯基础 3 阅读材料·拓展数学大视野 4 6 9.1　线性回归分析 必备知识·情境导学探新知 1 关键能力·合作探究释疑难 课时分层作业 2 5 学习效果·课堂评估夯基础 3 阅读材料·拓展数学大视野 4 7 左下 右上 左上 右下 9.1　线性回归分析 必备知识·情境导学探新知 1 关键能力·合作探究释疑难 课时分层作业 2 5 学习效果·课堂评估夯基础 3 阅读材料·拓展数学大视野 4 8 9.1　线性回归分析 必备知识·情境导学探新知 1 关键能力·合作探究释疑难 课时分层作业 2 5 学习效果·课堂评估夯基础 3 阅读材料·拓展数学大视野 4 9 9.1　线性回归分析 必备知识·情境导学探新知 1 关键能力·合作探究释疑难 课时分层作业 2 5 学习效果·课堂评估夯基础 3 阅读材料·拓展数学大视野 4 10 9.1　线性回归分析 必备知识·情境导学探新知 1 关键能力·合作探究释疑难 课时分层作业 2 5 学习效果·课堂评估夯基础 3 阅读材料·拓展数学大视野 4 11 9.1　线性回归分析 必备知识·情境导学探新知 1 关键能力·合作探究释疑难 课时分层作业 2 5 学习效果·课堂评估夯基础 3 阅读材料·拓展数学大视野 4 12 9.1　线性回归分析 必备知识·情境导学探新知 1 关键能力·合作探究释疑难 课时分层作业 2 5 学习效果·课堂评估夯基础 3 阅读材料·拓展数学大视野 4 13 9.1　线性回归分析 必备知识·情境导学探新知 1 关键能力·合作探究释疑难 课时分层作业 2 5 学习效果·课堂评估夯基础 3 阅读材料·拓展数学大视野 4 14 9.1　线性回归分析 必备知识·情境导学探新知 1 关键能力·合作探究释疑难 课时分层作业 2 5 学习效果·课堂评估夯基础 3 阅读材料·拓展数学大视野 4 15 －1 1 正 负 强 弱 9.1　线性回归分析 必备知识·情境导学探新知 1 关键能力·合作探究释疑难 课时分层作业 2 5 学习效果·课堂评估夯基础 3 阅读材料·拓展数学大视野 4 16 9.1　线性回归分析 必备知识·情境导学探新知 1 关键能力·合作探究释疑难 课时分层作业 2 5 学习效果·课堂评估夯基础 3 阅读材料·拓展数学大视野 4 17 9.1　线性回归分析 必备知识·情境导学探新知 1 关键能力·合作探究释疑难 课时分层作业 2 5 学习效果·课堂评估夯基础 3 阅读材料·拓展数学大视野 4 18 9.1　线性回归分析 必备知识·情境导学探新知 1 关键能力·合作探究释疑难 课时分层作业 2 5 学习效果·课堂评估夯基础 3 阅读材料·拓展数学大视野 4 19 9.1　线性回归分析 必备知识·情境导学探新知 1 关键能力·合作探究释疑难 课时分层作业 2 5 学习效果·课堂评估夯基础 3 阅读材料·拓展数学大视野 4 20 9.1　线性回归分析 必备知识·情境导学探新知 1 关键能力·合作探究释疑难 课时分层作业 2 5 学习效果·课堂评估夯基础 3 阅读材料·拓展数学大视野 4 21 a＋bx＋ε 9.1　线性回归分析 必备知识·情境导学探新知 1 关键能力·合作探究释疑难 课时分层作业 2 5 学习效果·课堂评估夯基础 3 阅读材料·拓展数学大视野 4 22 9.1　线性回归分析 必备知识·情境导学探新知 1 关键能力·合作探究释疑难 课时分层作业 2 5 学习效果·课堂评估夯基础 3 阅读材料·拓展数学大视野 4 23 9.1　线性回归分析 必备知识·情境导学探新知 1 关键能力·合作探究释疑难 课时分层作业 2 5 学习效果·课堂评估夯基础 3 阅读材料·拓展数学大视野 4 24 9.1　线性回归分析 必备知识·情境导学探新知 1 关键能力·合作探究释疑难 课时分层作业 2 5 学习效果·课堂评估夯基础 3 阅读材料·拓展数学大视野 4 25 9.1　线性回归分析 必备知识·情境导学探新知 1 关键能力·合作探究释疑难 课时分层作业 2 5 学习效果·课堂评估夯基础 3 阅读材料·拓展数学大视野 4 26 9.1　线性回归分析 必备知识·情境导学探新知 1 关键能力·合作探究释疑难 课时分层作业 2 5 学习效果·课堂评估夯基础 3 阅读材料·拓展数学大视野 4 27 9.1　线性回归分析 必备知识·情境导学探新知 1 关键能力·合作探究释疑难 课时分层作业 2 5 学习效果·课堂评估夯基础 3 阅读材料·拓展数学大视野 4 28 关键能力·合作探究释疑难 02 类型1 类型2 类型3 9.1　线性回归分析 必备知识·情境导学探新知 1 关键能力·合作探究释疑难 课时分层作业 2 5 学习效果·课堂评估夯基础 3 阅读材料·拓展数学大视野 4 29 9.1　线性回归分析 必备知识·情境导学探新知 1 关键能力·合作探究释疑难 课时分层作业 2 5 学习效果·课堂评估夯基础 3 阅读材料·拓展数学大视野 4 30 9.1　线性回归分析 必备知识·情境导学探新知 1 关键能力·合作探究释疑难 课时分层作业 2 5 学习效果·课堂评估夯基础 3 阅读材料·拓展数学大视野 4 31 9.1　线性回归分析 必备知识·情境导学探新知 1 关键能力·合作探究释疑难 课时分层作业 2 5 学习效果·课堂评估夯基础 3 阅读材料·拓展数学大视野 4 32 9.1　线性回归分析 必备知识·情境导学探新知 1 关键能力·合作探究释疑难 课时分层作业 2 5 学习效果·课堂评估夯基础 3 阅读材料·拓展数学大视野 4 33 9.1　线性回归分析 必备知识·情境导学探新知 1 关键能力·合作探究释疑难 课时分层作业 2 5 学习效果·课堂评估夯基础 3 阅读材料·拓展数学大视野 4 34 9.1　线性回归分析 必备知识·情境导学探新知 1 关键能力·合作探究释疑难 课时分层作业 2 5 学习效果·课堂评估夯基础 3 阅读材料·拓展数学大视野 4 35 9.1　线性回归分析 必备知识·情境导学探新知 1 关键能力·合作探究释疑难 课时分层作业 2 5 学习效果·课堂评估夯基础 3 阅读材料·拓展数学大视野 4 36 9.1　线性回归分析 必备知识·情境导学探新知 1 关键能力·合作探究释疑难 课时分层作业 2 5 学习效果·课堂评估夯基础 3 阅读材料·拓展数学大视野 4 37 9.1　线性回归分析 必备知识·情境导学探新知 1 关键能力·合作探究释疑难 课时分层作业 2 5 学习效果·课堂评估夯基础 3 阅读材料·拓展数学大视野 4 38 9.1　线性回归分析 必备知识·情境导学探新知 1 关键能力·合作探究释疑难 课时分层作业 2 5 学习效果·课堂评估夯基础 3 阅读材料·拓展数学大视野 4 39 9.1　线性回归分析 必备知识·情境导学探新知 1 关键能力·合作探究释疑难 课时分层作业 2 5 学习效果·课堂评估夯基础 3 阅读材料·拓展数学大视野 4 40 9.1　线性回归分析 必备知识·情境导学探新知 1 关键能力·合作探究释疑难 课时分层作业 2 5 学习效果·课堂评估夯基础 3 阅读材料·拓展数学大视野 4 41 9.1　线性回归分析 必备知识·情境导学探新知 1 关键能力·合作探究释疑难 课时分层作业 2 5 学习效果·课堂评估夯基础 3 阅读材料·拓展数学大视野 4 42 9.1　线性回归分析 必备知识·情境导学探新知 1 关键能力·合作探究释疑难 课时分层作业 2 5 学习效果·课堂评估夯基础 3 阅读材料·拓展数学大视野 4 43 9.1　线性回归分析 必备知识·情境导学探新知 1 关键能力·合作探究释疑难 课时分层作业 2 5 学习效果·课堂评估夯基础 3 阅读材料·拓展数学大视野 4 44 9.1　线性回归分析 必备知识·情境导学探新知 1 关键能力·合作探究释疑难 课时分层作业 2 5 学习效果·课堂评估夯基础 3 阅读材料·拓展数学大视野 4 45 9.1　线性回归分析 必备知识·情境导学探新知 1 关键能力·合作探究释疑难 课时分层作业 2 5 学习效果·课堂评估夯基础 3 阅读材料·拓展数学大视野 4 46 9.1　线性回归分析 必备知识·情境导学探新知 1 关键能力·合作探究释疑难 课时分层作业 2 5 学习效果·课堂评估夯基础 3 阅读材料·拓展数学大视野 4 47 9.1　线性回归分析 必备知识·情境导学探新知 1 关键能力·合作探究释疑难 课时分层作业 2 5 学习效果·课堂评估夯基础 3 阅读材料·拓展数学大视野 4 48 9.1　线性回归分析 必备知识·情境导学探新知 1 关键能力·合作探究释疑难 课时分层作业 2 5 学习效果·课堂评估夯基础 3 阅读材料·拓展数学大视野 4 49 9.1　线性回归分析 必备知识·情境导学探新知 1 关键能力·合作探究释疑难 课时分层作业 2 5 学习效果·课堂评估夯基础 3 阅读材料·拓展数学大视野 4 50 9.1　线性回归分析 必备知识·情境导学探新知 1 关键能力·合作探究释疑难 课时分层作业 2 5 学习效果·课堂评估夯基础 3 阅读材料·拓展数学大视野 4 51 9.1　线性回归分析 必备知识·情境导学探新知 1 关键能力·合作探究释疑难 课时分层作业 2 5 学习效果·课堂评估夯基础 3 阅读材料·拓展数学大视野 4 52 9.1　线性回归分析 必备知识·情境导学探新知 1 关键能力·合作探究释疑难 课时分层作业 2 5 学习效果·课堂评估夯基础 3 阅读材料·拓展数学大视野 4 53 9.1　线性回归分析 必备知识·情境导学探新知 1 关键能力·合作探究释疑难 课时分层作业 2 5 学习效果·课堂评估夯基础 3 阅读材料·拓展数学大视野 4 54 9.1　线性回归分析 必备知识·情境导学探新知 1 关键能力·合作探究释疑难 课时分层作业 2 5 学习效果·课堂评估夯基础 3 阅读材料·拓展数学大视野 4 55 9.1　线性回归分析 必备知识·情境导学探新知 1 关键能力·合作探究释疑难 课时分层作业 2 5 学习效果·课堂评估夯基础 3 阅读材料·拓展数学大视野 4 56 9.1　线性回归分析 必备知识·情境导学探新知 1 关键能力·合作探究释疑难 课时分层作业 2 5 学习效果·课堂评估夯基础 3 阅读材料·拓展数学大视野 4 57 9.1　线性回归分析 必备知识·情境导学探新知 1 关键能力·合作探究释疑难 课时分层作业 2 5 学习效果·课堂评估夯基础 3 阅读材料·拓展数学大视野 4 58 学习效果·课堂评估夯基础 03 9.1　线性回归分析 必备知识·情境导学探新知 1 关键能力·合作探究释疑难 课时分层作业 2 5 学习效果·课堂评估夯基础 3 阅读材料·拓展数学大视野 4 59 9.1　线性回归分析 必备知识·情境导学探新知 1 关键能力·合作探究释疑难 课时分层作业 2 5 学习效果·课堂评估夯基础 3 阅读材料·拓展数学大视野 4 60 9.1　线性回归分析 必备知识·情境导学探新知 1 关键能力·合作探究释疑难 课时分层作业 2 5 学习效果·课堂评估夯基础 3 阅读材料·拓展数学大视野 4 61 9.1　线性回归分析 必备知识·情境导学探新知 1 关键能力·合作探究释疑难 课时分层作业 2 5 学习效果·课堂评估夯基础 3 阅读材料·拓展数学大视野 4 62 9.1　线性回归分析 必备知识·情境导学探新知 1 关键能力·合作探究释疑难 课时分层作业 2 5 学习效果·课堂评估夯基础 3 阅读材料·拓展数学大视野 4 63 9.1　线性回归分析 必备知识·情境导学探新知 1 关键能力·合作探究释疑难 课时分层作业 2 5 学习效果·课堂评估夯基础 3 阅读材料·拓展数学大视野 4 64 9.1　线性回归分析 必备知识·情境导学探新知 1 关键能力·合作探究释疑难 课时分层作业 2 5 学习效果·课堂评估夯基础 3 阅读材料·拓展数学大视野 4 65 9.1　线性回归分析 必备知识·情境导学探新知 1 关键能力·合作探究释疑难 课时分层作业 2 5 学习效果·课堂评估夯基础 3 阅读材料·拓展数学大视野 4 66 9.1　线性回归分析 必备知识·情境导学探新知 1 关键能力·合作探究释疑难 课时分层作业 2 5 学习效果·课堂评估夯基础 3 阅读材料·拓展数学大视野 4 67 9.1　线性回归分析 必备知识·情境导学探新知 1 关键能力·合作探究释疑难 课时分层作业 2 5 学习效果·课堂评估夯基础 3 阅读材料·拓展数学大视野 4 68 9.1　线性回归分析 必备知识·情境导学探新知 1 关键能力·合作探究释疑难 课时分层作业 2 5 学习效果·课堂评估夯基础 3 阅读材料·拓展数学大视野 4 69 9.1　线性回归分析 必备知识·情境导学探新知 1 关键能力·合作探究释疑难 课时分层作业 2 5 学习效果·课堂评估夯基础 3 阅读材料·拓展数学大视野 4 70 9.1　线性回归分析 必备知识·情境导学探新知 1 关键能力·合作探究释疑难 课时分层作业 2 5 学习效果·课堂评估夯基础 3 阅读材料·拓展数学大视野 4 71 9.1　线性回归分析 必备知识·情境导学探新知 1 关键能力·合作探究释疑难 课时分层作业 2 5 学习效果·课堂评估夯基础 3 阅读材料·拓展数学大视野 4 72 9.1　线性回归分析 必备知识·情境导学探新知 1 关键能力·合作探究释疑难 课时分层作业 2 5 学习效果·课堂评估夯基础 3 阅读材料·拓展数学大视野 4 73 阅读材料·拓展数学大视野 04 9.1　线性回归分析 必备知识·情境导学探新知 1 关键能力·合作探究释疑难 课时分层作业 2 5 学习效果·课堂评估夯基础 3 阅读材料·拓展数学大视野 4 74 9.1　线性回归分析 必备知识·情境导学探新知 1 关键能力·合作探究释疑难 课时分层作业 2 5 学习效果·课堂评估夯基础 3 阅读材料·拓展数学大视野 4 75 9.1　线性回归分析 必备知识·情境导学探新知 1 关键能力·合作探究释疑难 课时分层作业 2 5 学习效果·课堂评估夯基础 3 阅读材料·拓展数学大视野 4 76 9.1　线性回归分析 必备知识·情境导学探新知 1 关键能力·合作探究释疑难 课时分层作业 2 5 学习效果·课堂评估夯基础 3 阅读材料·拓展数学大视野 4 77 9.1　线性回归分析 必备知识·情境导学探新知 1 关键能力·合作探究释疑难 课时分层作业 2 5 学习效果·课堂评估夯基础 3 阅读材料·拓展数学大视野 4 78 点击右图进入… 课 时 分 层 作 业 9.1　线性回归分析 必备知识·情境导学探新知 1 关键能力·合作探究释疑难 课时分层作业 2 5 学习效果·课堂评估夯基础 3 阅读材料·拓展数学大视野 4 79 谢谢观看 THANK YOU! 80 1．通过收集现实问题中两个有关联变量的数据，作出散点图，并利用散点图直观认识变量间的相关关系．(重点) 2．能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程．(难点) 1．通过对散点图、线性回归的分析，培养数据分析的素养． 2．借助回归模型的建立，培养数学建模、数据分析及数学运算的素养． 在中学校园里，有这样一种说法：“如果你的数学成绩好，那么你的物理学习就不会有什么大问题”．按照这种说法，似乎学生的物理成绩与数学成绩之间存在着某种关系．我们把数学成绩和物理成绩看成是两个变量，那么这两个变量之间的关系是函数关系吗？ 知识点1　变量的相关性 1．相关关系 两个变量之间具有一定的联系，但又没有确定性 关系，这种关系称为相关关系． 2．散点图、正相关、负相关 (1)散点图：将样本中几个数据点(xi，yi)(i＝1，2，…n)描在平面直角坐标系中得到的图形． (2)线性相关关系：如果散点图中的散点散布在一条直线附近，那么具有这种特性的相关关系称为线性相关关系． (3)正相关与负相关：如果具有相关关系的两个变量的散点图呈从 向 方向发展的趋势，我们称这两个变量之间正相关；如果具有相关关系的两个变量的散点图呈从 向 方向发展的趋势，则称这两个变量之间负相关． 1．下列各关系不属于相关关系的是(　　) A．产品的样本与生产数量 B．球的表面积与体积 C．家庭的支出与收入 D．人的年龄与体重 B　[B中S球＝4πR2，V球＝eq \f(4,3)πR3， ∴eq \f(S球,V球)＝eq \f(3,R)，即V球＝eq \f(R,3)S球，二者有确定的函数关系，不是相关关系．] 2．观察下列四个散点图，两个变量具有相关关系的是 (　　) A　　 　B　 　 　C　　 　　D A　[A中两个变量之间的关系的散点图从左下角到右上角具有相关关系．B、C、D中两个变量间的关系的散点图看不出有什么相关关系．] 知识点2　相关系数 1．相关系数 我们将cos θ＝eq \f(\i\su(i＝1,n, )xi－\o(x,\s\up16(－))yi－\o(y,\s\up16(－)),\r(\i\su(i＝1,n, )xi－\o(x,\s\up16(－))2)·\r(\i\su(i＝1,n, )yi－\o(y,\s\up16(－))2))称为n对数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)的相关系数，记为r． 2．相关系数r的计算公式 r＝eq \f(\i\su(i＝1,n, )xi－\o(x,\s\up16(－))yi－\o(y,\s\up16(－)),\r(\i\su(i＝1,n, )xi－\o(x,\s\up16(－))2\i\su(i＝1,n, )yi－\o(y,\s\up16(－))2)) ＝eq \f(n\i\su(i＝1,n,x)iyi－\i\su(i＝1,n,x)i\i\su(i＝1,n,y)i,\r([n\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－\i\su(i＝1,n,x)i2][n\i\su(i＝1,n,y)\o\al(2,i)－\i\su(i＝1,n,y)i2]))． 3．相关系数r具有下列性质 (1) ≤r≤ ； (2)r＞0时y与x呈 相关关系，r＜0时y与x呈 相关关系； (3)|r|越接近1，y与x相关的程度就越 ，|r|越接近0，y与x相关的程度就越 ． (4)通常情况下，当|r|>0.5时，认为线性相关关系显著；当|r|<0.3时，认为几乎没有线性相关关系． 3．对两个变量x、y进行线性相关检验，得线性相关系数r1＝0.785 9，对两个变量u、v进行线性相关检验，得线性相关系数r2＝－0.956 8，则下列判断正确的是(　　) A．变量x与y正相关，变量u与v负相关，变量x与y的线性相关性较强 B．变量x与y负相关，变量u与v正相关，变量x与y的线性相关性较强 C．变量x与y正相关，变量u与v负相关，变量u与v的线性相关性较强 D．变量x与y负相关，变量u与v正相关，变量u与v的线性相关性较强 C　[由线性相关系数r1＝0.785 9>0知x与y正相关， 由线性相关系数r2＝－0.956 8<0知u与v负相关， 又|r1|<|r2|，所以，变量u与v的线性相关性比x与y的线性相关性强，故选C．] 4．两个变量x与y的回归模型中，分别选择了四个不同的模型来拟合y与x之间的关系，它们的相关系数r如下，其中拟合效果最好的模型是(　　) 模型 1 2 3 4 r 0.98 0.80 0.50 0.25 A．模型1 B．模型2 C．模型3 D．模型4 A　[两个变量x与y的回归模型中，它们的相关系数|r|越接近于1，这个模型的拟合效果越好，在所给的四个相关系数中0.98的绝对值最接近1，所以拟合效果最好的模型是模型1．] 知识点3　线性回归方程 1.y＝ 称为线性回归模型，其中a＋bx是确定性函数，ε称为随机误差．a，b的估计值为eq \o(a,\s\up6(∧))，eq \o(b,\s\up6(∧))，其计算公式为 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\o(b,\s\up8(∧))＝\f(n\i\su(i＝1,n,x)iyi－\i\su(i＝1,n,x)i\i\su(i＝1,n,y)i,n\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－\i\su(i＝1,n,x)i2)＝\f(\i\su(i＝1,n, )xi－\o(x,\s\up16(－))yi－\o(y,\s\up16(－)),\i\su(i＝1,n, )xi－\o(x,\s\up16(－))2),\o(a,\s\up8(∧))＝\o(y,\s\up16(－))－\o(b,\s\up8(∧)) \o(x,\s\up16(－)))) 其中eq \o(x,\s\up16(－))＝ ，eq \o(y,\s\up16(－))＝ ，由此得到的直线eq \o(y,\s\up8(∧))＝eq \o(a,\s\up8(∧))＋eq \o(b,\s\up8(∧))x称为这n对数据的回归直线，此直线方程称为线性回归方程，其中eq \o(a,\s\up8(∧))称为回归截距，eq \o(b,\s\up8(∧))称为回归系数，eq \o(y,\s\up8(∧))称为回归值． eq \f(1,n)eq \i\su(i＝1,n,y)i eq \f(1,n)eq \i\su(i＝1,n,x)i eq \o(a,\s\up8(∧))，eq \o(b,\s\up8(∧))的计算公式也可化为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\o(b,\s\up8(∧))＝\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\o(x,\s\up16(－))\o(y,\s\up16(－)),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\o(x,\s\up16(－))2)，,\o(a,\s\up8(∧))＝\o(y,\s\up16(－))－\o(b,\s\up8(∧)) \o(x,\s\up16(－)).)) 2.(1) 一般地，将观测值与对应的估计值之差称为残差，残差是随机误差的估计结果， (2) 残差可以作为判断回归模型是否合理的标准。 5．设有一个线性回归方程eq \o(y,\s\up8(∧))＝2－1.5x，当变量x增加1个单位时(　　) A．y平均增加1.5个单位 B．y平均增加2个单位 C．y平均减少1.5个单位 D．y平均减少2个单位 C　[由回归方程中两个变量之间的关系可以得到．] 3　[eq \o(x,\s\up16(－))＝eq \f(3＋4＋5＋6,4)＝eq \f(9,2)，eq \o(y,\s\up16(－))＝eq \f(2.5＋t＋4＋4.5,4)＝eq \f(11＋t,4)， 由eq \o(y,\s\up16(－))＝0.7eq \o(x,\s\up16(－))＋0.35得t＝3．] (1)画出数据对应的散点图； (2)判断新房屋的销售价格和房屋面积之间是否具有相关关系？如果有相关关系，是正相关还是负相关？ [解]　通过以上数据对应的散点图可以判断，新房屋的销售价格和房屋的面积之间具有相关关系，且是正相关． 判断两个随机变量具有相关关系的方法 (1)散点图法：通过散点图，观察它们的分布是否存在一定规律，直观地判断． (2)表格、关系式法：结合表格或关系式进行判断． (3)经验法：借助积累的经验进行分析判断． eq \o([跟进训练]) 1．5个学生的数学和物理成绩(单位：分)如下表： 画出散点图，并判断它们是否具有线性相关关系． [解]　以x轴表示数学成绩，y轴表示物理成绩，可得相应的散点图如图所示，由散点图可知，两者之间具有线性相关关系，且是正相关． 类型2　求线性回归方程 【例2】　一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了10次试验，收集数据如下： 零件数x/个 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 加工时间y/分 62 68 75 81 89 95 102 108 115 122 (1)y与x是否具有线性相关关系？ [解]　画散点图如下． 由图可知y与x具有线性相关关系． (2)如果y与x具有线性相关关系，求y关于x的线性回归方程． [解]　列表、计算： i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 xi 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 yi 62 68 75 81 89 95 102 108 115 122 xiyi 620 1 360 2 250 3 240 4 450 5 700 7 140 8 640 10 350 12 200 eq \o(x,\s\up16(－))＝55，eq \o(y,\s\up16(－))＝91.7，eq \i\su(i＝1,10,x)eq \o\al(2,i)＝38 500，eq \i\su(i＝1,10,y)eq \o\al(2,i)＝87 777，eq \i\su(i＝1,10,x)iyi＝55 950 设所求的线性回归方程为eq \o(y,\s\up8(∧))＝eq \o(b,\s\up8(∧))x＋eq \o(a,\s\up8(∧))． eq \o(b,\s\up8(∧)) ＝eq \f(\i\su(i＝1,10,x)iyi－10\o(x,\s\up16(－))\o(y,\s\up16(－)),\i\su(i＝1,10,x)\o\al(2,i)－10\o(x,\s\up16(－))2)＝eq \f(55 950－10×55×91.7,38 500－10×552)≈0.668， eq \o(a,\s\up8(∧))＝eq \o(y,\s\up16(－))－eq \o(b,\s\up8(∧)) eq \o(x,\s\up16(－))＝91.7－0.668×55＝54.96． 即所求的线性回归方程为eq \o(y,\s\up6(∧))＝0.668x＋54.96． 求线性回归方程的基本步骤 (1)画出散点图，从直观上分析数据间是否存在线性相关关系． (2)计算：eq \o(x,\s\up16(－))，eq \o(y,\s\up16(－))，eq \i\su(i＝1,n,x)eq \o\al(2,i)，eq \i\su(i＝1,n,y)eq \o\al(2,i)，eq \i\su(i＝1,n,x)iyi． (3)代入公式求出eq \o(y,\s\up8(∧))＝eq \o(b,\s\up8(∧))x＋eq \o(a,\s\up8(∧))中参数eq \o(b,\s\up8(∧))，eq \o(a,\s\up8(∧))的值． (4)写出线性回归方程并对实际问题作出估计． (1)画出散点图； [解]　散点图如图所示． (2)求线性回归方程和相关系数r； [解]　列出下表，并用科学计算器进行有关计算： i 1 2 3 4 5 合计 xi 2 4 5 6 8 25 yi 30 40 60 50 70 250 xiyi 60 160 300 300 560 1 380 xeq \o\al(2,i) 4 16 25 36 64 145 yeq \o\al(2,i) 900 1 600 3 600 2 500 4 900 13 500 所以eq \x\to(x)＝eq \f(25,5)＝5，eq \x\to(y)＝eq \f(250,5)＝50，eq \i\su(i＝1,5,x) eq \o\al(2,i)＝145， eq \i\su(i＝1,5,x)iyi＝1 380． 于是可得eq \o(b,\s\up8(∧))＝eq \f(\i\su(i＝1,5,x)iyi－5\x\to(x) \x\to(y),\i\su(i＝1,5,x)\o\al(2,i)－5\x\to(x)2)＝eq \f(1 380－5×5×50,145－5×52)＝6.5， eq \o(a,\s\up8(∧))＝eq \x\to(y)－eq \o(b,\s\up8(∧)) eq \x\to(x)＝50－6.5×5＝17.5． 所以所求的线性回归方程为eq \o(y,\s\up8(∧))＝6.5x＋17.5． r＝eq \f(\i\su(i＝1,5,x)iyi－5\o(x,\s\up16(－)) \o(y,\s\up16(－)),\r(\i\su(i＝1,5,x)\o\al(2,i)－5\o(x,\s\up16(－))2)\r(\i\su(i＝1,5,y)\o\al(2,i)－5\o(y,\s\up16(－))2)) ＝eq \f(1 380－5×5×50,\r(145－5×25)\r(13 500－5×502))≈0.92． (3)试预测广告费用支出x为10时的销售额． [解]　根据(2)中求得的线性回归方程，当广告费用支出为10百万元时， eq \o(y,\s\up8(∧))＝6.5×10＋17.5＝82.5(百万元)， 即广告费用支出为10百万元时，销售额大约为82.5百万元． (1)画散点图； [解]　散点图如图． (2)求线性回归方程； [解]　可以看出，两变量之间有近似的线性相关关系，下面用列表的方法计算eq \o(a,\s\up8(∧))，eq \o(b,\s\up8(∧))． i xi yi xeq \o\al(2,i) xiyi 1 18 26.86 324 483.48 2 20 28.35 400 567 3 22 28.75 484 632.5 i xi yi xeq \o\al(2,i) xiyi 4 24 28.87 576 692.88 5 26 29.75 676 773.5 6 28 30.00 784 840 7 30 30.36 900 910.8 ∑ 168 202.94 4 144 4 900.16 eq \o(x,\s\up16(－))＝eq \f(168,7)＝24，eq \o(y,\s\up16(－))＝eq \f(202.94,7)， eq \o(b,\s\up8(∧))＝eq \f(\i\su(i＝1,7,x)iyi－7\o(x,\s\up16(－))\o(y,\s\up16(－)),\i\su(i＝1,7,x)\o\al(2,i)－7\o(x,\s\up16(－))2)＝eq \f(4 900.16－7×24×\f(202.94,7),4 144－7×242)≈0.264 3， eq \o(a,\s\up8(∧))＝eq \o(y,\s\up16(－))－eq \o(b,\s\up8(∧)) eq \o(x,\s\up16(－))＝eq \f(202.94,7)－0.264 3×24≈22.648， ∴线性回归方程为eq \o(y,\s\up8(∧))＝22.648＋0.264 3x． (3)求相关系数r(精确到0.01)． [解]　eq \i\su(i＝1,7,y)eq \o\al(2,i)≈5 892，r＝eq \f(\i\su(i＝1,7,x)iyi－7\o(x,\s\up16(－))\o(y,\s\up16(－)),\r(\i\su(i＝1,7,x)\o\al(2,i)－7\o(x,\s\up16(－))2\i\su(i＝1,7,y)\o\al(2,i)－7\o(y,\s\up16(－))2)) ＝eq \f(4 900.16－7×24×\f(202.94,7),\r(4 144－7×242×\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(5 892－7×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(202.94,7))))))) ≈0.96． 1解决此类问题的难点是对数据的处理和计算，一般采用列表法，可以有效地避免运算时失误. 2根据已知数据求得线性回归方程后，可以利用相关系数绝对值的大小，判断两个变量相关性的强弱. (1)求相关系数r(精确到0.01)； [解]　由已知条件可得下表： i 1 2 3 4 5 6 xi 24.4 29.6 32.9 28.7 30.3 28.9 yi 19 6 1 10 1 8 eq \o(x,\s\up16(－))≈29.13，eq \o(y,\s\up16(－))＝7.5，eq \i\su(i＝1,6,x)eq \o\al(2,i)＝5 130.92，eq \i\su(i＝1,6,y)eq \o\al(2,i)＝563，eq \i\su(i＝1,6,x)iyi＝1 222.6 r＝eq \f(\i\su(i＝1,6,x)iyi－6\o(x,\s\up16(－))\o(y,\s\up16(－)),\r(\i\su(i＝1,6,x)\o\al(2,i)－6\o(x,\s\up16(－))2\i\su(i＝1,6,y)\o\al(2,i)－6\o(y,\s\up16(－))2))≈－0.93． [解]　eq \o(b,\s\up8(∧))＝eq \f(1 222.6－6×29.13×7.5,5 130.92－6×29.132)≈－2.23，eq \o(a,\s\up8(∧))＝eq \o(y,\s\up16(－))－eq \o(b,\s\up8(∧)) eq \o(x,\s\up16(－))≈72.46． 所以线性回归方程为eq \o(y,\s\up8(∧))＝－2.23x＋72.46． 当x＝27时，eq \o(y,\s\up8(∧))＝－2.23×27＋72.46≈12． 据此，可估计该地区2023年4月12日为化蛹高峰日． 1．已知x与y之间的一组数据： x 0 1 2 3 4 y 1 3 5 7 9 则y与x的线性回归方程eq \o(y,\s\up8(∧))＝eq \o(b,\s\up8(∧))x＋eq \o(a,\s\up8(∧))必过点(　　) A．(1,2) B．(5,2) C．(2,5) D．(2.5,5) C　[线性回归方程一定过样本中心(eq \o(x,\s\up16(－))，eq \o(y,\s\up16(－)))．由eq \o(x,\s\up16(－))＝eq \f(0＋1＋2＋3＋4,5)＝2， eq \o(y,\s\up16(－))＝eq \f(1＋3＋5＋7＋9,5)＝5．故必过点(2,5)．] 3．对某同学7次考试的数学成绩x和物理成绩y进行分析，下面是该生7次考试的成绩(单位：分)． x 88 83 117 92 108 100 112 y 94 91 108 96 104 101 106 发现他的物理成绩y与数学成绩x是线性相关的，利用最小二乘法得到线性回归方程为eq \o(y,\s\up8(∧))＝0.5x＋eq \o(a,\s\up8(∧))，若该生的数学成绩达到130分，估计他的物理成绩是(　　) A．114.5分 B．115分 C．115.5分 D．116分 B　[由题意可知 eq \o(x,\s\up16(－))＝eq \f(88＋83＋117＋92＋108＋100＋112,7)＝100， eq \o(y,\s\up16(－))＝eq \f(94＋91＋108＋96＋104＋101＋106,7)＝100， 因为回归直线经过样本点的中心，所以100＝0.5×100＋eq \o(a,\s\up8(∧))，解得eq \o(a,\s\up8(∧))＝50，故线性回归方程为eq \o(y,\s\up8(∧))＝0.5x＋50，当x＝130时，eq \o(y,\s\up8(∧))＝0.5×130＋50＝115．故选B．] 4．自2010年以来，一、二、三线的房价均呈现不同程度的上升趋势，以房养老的理念深入人心，使得各地房产中介公司的交易数额日益增加．现将A房产中介公司2010－2019年4月份的售房情况统计如图所示，根据2010－2013年，2014－2016年，2017－2019年的数据分别建立回归直线方程eq \o(y,\s\up8(∧))＝eq \o(b,\s\up8(∧))1x＋eq \o(a,\s\up8(∧))1，eq \o(y,\s\up8(∧))＝eq \o(b,\s\up8(∧))2x＋eq \o(a,\s\up8(∧))2，eq \o(y,\s\up8(∧))＝eq \o(b,\s\up8(∧))3x＋eq \o(a,\s\up8(∧))3，则(　　) A．eq \o(b,\s\up8(∧))1＞eq \o(b,\s\up8(∧))2＞eq \o(b,\s\up8(∧))3，eq \o(a,\s\up8(∧))3＞eq \o(a,\s\up8(∧))2＞eq \o(a,\s\up8(∧))1 B．eq \o(b,\s\up8(∧))2＞eq \o(b,\s\up8(∧))1＞eq \o(b,\s\up8(∧))3，eq \o(a,\s\up8(∧))3＞eq \o(a,\s\up8(∧))2＞eq \o(a,\s\up8(∧))1 C．eq \o(b,\s\up8(∧))1＞eq \o(b,\s\up8(∧))2＞eq \o(b,\s\up8(∧))3，eq \o(a,\s\up8(∧))3＞eq \o(a,\s\up8(∧))1＞eq \o(a,\s\up8(∧))2 D．eq \o(b,\s\up8(∧))2＞eq \o(b,\s\up8(∧))1＞eq \o(b,\s\up8(∧))3，eq \o(a,\s\up8(∧))3＞eq \o(a,\s\up8(∧))1＞eq \o(a,\s\up8(∧))2 A　[回归直线分布在散点图附近，eq \o(b,\s\up8(∧))表示回归系数，eq \o(a,\s\up8(∧))表示回归直线在y轴上的截距．由题图可知，2010～2013年，y随x的增加而迅速增加，2014～2016年，y随x的增加而平缓增加，2017～2019年，y随x的增加而减少，故eq \o(b,\s\up8(∧))1＞eq \o(b,\s\up8(∧))2＞eq \o(b,\s\up8(∧))3，eq \o(a,\s\up8(∧))3＞eq \o(a,\s\up8(∧))2＞eq \o(a,\s\up8(∧))1．] 回顾本节知识，自我完成以下问题： 1．进行回归分析时，研究样本数据的散点图有什么用处？ [提示]　绘制散点图是一种简便可行的判断变量之间有无相关关系的方法，根据散点图，还可以很容易看出两个变量是否具有相关关系，是否线性相关，是正相关还是负相关． 2．求线性回归方程的方法与步骤是什么？ [提示]　(1)画出散点图，从直观上分析数据间是否存在线性相关关系； (2)计算参数eq \o(b,\s\up8(∧))，eq \o(a,\s\up8(∧))的值； (3)写出线性回归方程． “回归”的由来 回归分析法是由著名的英国人类学家、统计学家高尔顿(F．Galton,1822－1911)所创立的早年高尔顿曾致立于化学和遗传学领域的研究，他在研究英国人中父子身高之间的关系时创立了回归分析法． 1889年，高尔顿和他的学术、现代统计学奠基人之一的皮尔逊(Pearson)收集了1 078对父亲及其1个成年儿子的身高数据，根据调查数据作出了散点图后发现，个子高的父亲确有生出个子高的儿子的倾向，同样，个子矮的父亲确有生出个子矮的儿子的倾向． 高尔顿研究后还发现，这1 078对父亲的身高的平均值为68英寸，1 078个儿子的身高平均值为69英寸，一种自然的想法是：如果父亲的身高是X英寸，那么他的儿子的身高是X＋1英寸，但高尔顿在研究时发现，当父亲的身高是72英寸，那么他的儿子的平均身高仅为71英寸，并没有达到73英寸，他同时还发现，身高只有64英寸的父亲其儿子的平均身高仅为67英寸，竟比预期的65英寸高了2英寸，由此他得出结论：尽管高父亲往往生出高儿子，矮父亲大多生的是矮儿子，但“儿子们”有向全体男子的平均值靠近的趋势，即子代的升高有向平均值“回归”的倾向． 高尔顿的解释是：大自然具有一种约束力，使人类升高的分步在一定时期内相对稳定而不产生两级分化，这就是所谓的“回归”效应，通过这一例子，高尔顿引入了“回归”(reversion，后来慢慢演变称regression)一词． 现在，回归分析法已广泛应用于科学研究的各个方面，成为探索变量之间关系最重要的方法之一，并用以找出因果关系的变量之间关系的具体表现形式． $$