（练习）课时分层作业10 空间角的计算-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册(苏教版2019)

课时分层作业(十)　空间角的计算 一、选择题 1．若二面角α­l­β的大小为120°，则平面α与平面β的法向量的夹角为(　　) A．120° B．60° C．120°或60° D．30°或150° C　[二面角为120°时，其法向量的夹角可能是60°，也可能是120°．] 2．若平面α的一个法向量n＝(2,1,1)，直线l的一个方向向量为a＝(1,2,3)，则l与α所成角的正弦值为(　　) A． B． C．－ D． B　[平面α的一个法向量n＝(2,1,1)，直线l的一个方向向量为a＝(1,2,3)， 所以l与α所成角的正弦值等于＝＝，故选B．] 3．如图，在正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为(　　) A． B． C． D． D　[以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系D­xyz(图略)，设AB＝1．则B(1,1,0)，A1(1,0,2)，A(1,0,0)，D1(0,0,2)，＝(0,1，－2)，＝(－1,0,2)，cos〈，〉＝＝＝－， ∴异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为．] 4．如图，已知矩形ABCD与矩形ABEF全等，二面角D­AB­E为直二面角，M为AB的中点，FM与BD所成的角为θ，且cos θ＝，则＝(　　) A．1 B． C． D． C　[以A为坐标原点，AF所在直线为x轴，AB所在直线为y轴，AD所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设AB＝2a，BC＝2b，则F(2b,0,0)，M(0，a,0)，B(0,2a,0)，D(0，0,2b)，＝(－2b，a,0)，＝(0，－2a,2b)，∵FM与BD所成的角为θ，且cos θ＝， ∴cos θ＝|cos〈，〉|＝＝＝，整理，得5a2b2＋4b4－26a4＝0， ∴－26×＋5×＋4＝0， 解得＝或＝－(舍去)， ∴＝＝，故选C．] 5．如图所示，已知四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是菱形，且PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝AC，点F为PC的中点，则二面角C­BF­D的正切值为(　　) A． B． C． D． D　[如图所示，设AC与BD交于点O，连接OF．以O为坐标原点，OB，OC，OF所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系O­xyz． 设PA＝AD＝AC＝1， 则BD＝，所以O(0,0,0)，B，F，C，＝，易知为平面BDF的一个法向量，由＝，＝，可得平面BCF的一个法向量为n＝(1，，)．所以cos〈n，〉＝，sin〈n，〉＝，所以tan〈n，〉＝． 故二面角C­BF­D的正切值为．] 二、填空题 6．已知四棱锥P­ABCD的底面ABCD是矩形，平面PCD⊥底面ABCD，且AB＝4，BC＝2，PC＝PD＝2，则异面直线PB与AC所成角的余弦值为________． 　[如图，过点P作PO⊥DC于点O，以O为坐标原点，OD，OP所在直线分别为x轴，z轴，过点O且与AD平行的直线为y轴，建立空间直角坐标系，则A(2,2,0)，C(－2,0,0)，B(－2,2,0)，P(0,0,2)，所以＝(－2,2，－2)，＝(－4，－2,0)，所以·＝8－4＋0＝4，||＝4，||＝2，设异面直线PB与AC所成的角为θ，所以cos θ＝|cos〈，〉|＝＝＝．] 7．如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点E为线段AB的中点，点F在线段AD上移动，异面直线B1C与EF所成角最小时，其余弦值为________． 　[以D为坐标原点， 建立如图所示的空间直角坐标系， 设正方体的边长为1，则C(0,1,0)，B1(1,1,1)，E，F(x,0,0)， 所以＝(1,0,1)，＝， 所以|cos〈，〉|＝＝＝·＝ ，0≤x≤1， 当异面直线B1C与EF所成角最小时，|cos〈，〉|最大， 即x＝0时，|cos〈，〉|＝×＝．] 8．如图，已知E，F分别是棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1的棱BC，CC1的中点，则截面AEFD1与底面ABCD所成二面角的正弦值为________． 　[以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示． 则A(1,0,0)，E，D1(0,0,1)， ∴＝(－1,0,1)，＝． 设平面AEFD1的一个法向量为n＝(x，y，z)， 则⇒∴x＝2y＝z．取y＝1，则n＝(2,1,2)． 又平面ABCD的一个法向量为u＝(0,0,1)， ∴cos〈n，u〉＝，∴sin〈n，u〉＝．] 三、解答题 9．在三棱锥A­BCD中，AB＝AD＝BD＝2，BC＝DC＝，AC＝2． (1)求证：BD⊥AC； (2)若P为AC上一点，且AP＝AC，求