（练习）课时分层作业6 空间向量数量积的坐标表示-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册(苏教版2019)

课时分层作业(六)　空间向量数量积的坐标表示 一、选择题 1．已知向量a＝(1,0,3)，b＝(0，－1,2)，c＝(3,1,0)，则a·(b－c)＝(　　) A．－3 B．3 C．9 D．0 B　[b－c＝(－3，－2,2)，a·(b－c)＝1×(－3)＋0×(－2)＋3×2＝3．] 2．向量a＝(2,1，x)，b＝(2，y，－1)，若|a|＝，且a⊥b，则x＋y的值为(　　) A．－1 B．1 C．－4 D．4 C　[向量a＝(2,1，x)，若|a|＝，则＝，解得x＝0； 又向量b＝(2，y，－1)，且a⊥b，则a·b＝4＋y＋0＝0，解得y＝－4； 所以x＋y＝－4．] 3．(多选题)已知向量a＝(1,0，－1)，则下列向量中与a成120°夹角的是(　　) A．(－1,1,0) B．(1，－1,0) C．(0，－1,1) D．(－1,0,1) AC　[不妨设向量为b＝(x，y，z)， A．若b＝(－1,1,0)，则cos θ＝＝＝－，满足条件． B．若b＝(1，－1,0)，则cos θ＝＝＝≠－，不满足条件． C．若b＝(0，－1,1)，则cos θ＝＝＝－，满足条件． D．若b＝(－1,0,1)，则cos θ＝＝＝－1≠，不满足条件．故选AC．] 4．已知向量a＝(－2，x,2)，b＝(2,1,2)，c＝(4，－2,1)，若a⊥(b－c)，则x的值为(　　) A．－2 B．2 C．3 D．－3 A　[∵b－c＝(－2,3,1)，a·(b－c)＝4＋3x＋2＝0，∴x＝－2．] 5．已知A，B，C三点的坐标分别为A(4,1,3)，B(2，－5，1)，C(3,7，λ)，若⊥，则λ等于(　　) A．28 B．－28 C．14 D．－14 D　[＝(－2，－6，－2)，＝(－1,6，λ－3)， ∵⊥，∴·＝－2×(－1)－6×6－2(λ－3)＝0，解得λ＝－14．] 二、填空题 6．已知a＝(1,1,0)，b＝(0,1,1)，c＝(1,0,1)，p＝a－b，q＝a＋2b－c，则p·q＝________． －1　[∵p＝a－b＝(1,0，－1)，q＝a＋2b－c＝(0,3,1)， ∴p·q＝1×0＋0×3＋(－1)×1＝－1．] 7．若点A(－1,1,2)，B(0,3,0)，C(1,0，－1)，点D在z轴上，且⊥，则||＝________． 3　[因为点D在z轴上，可设D(0,0，m)， 故＝(1，－1，m－2)，＝(1，－3，－1)， 因为⊥，所以·＝1＋3－(m－2)＝0，解得m＝6． 故||＝＝3．] 8．已知a＝(cos α，1，sin α)，b＝(sin α，1，cos α)，则向量a＋b与a－b的夹角是________． 　[因为a＝(cos α，1，sin α)，b＝(sin α，1，cos α)，所以a＋b＝(cos α＋sin α，2，sin α＋cos α)，a－b＝(cos α－sin α，0，sin α－cos α)，所以(a＋b)·(a－b)＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α)＋2×0＋(sin α＋cos α)(sin α－cos α)＝cos2α－sin2α＋0＋sin2α－cos2α＝0，所以向量a＋b与a－b垂直，所以向量a＋b与a－b的夹角为．] 三、解答题 9．已知空间中三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，设a＝，b＝． (1)求向量a与向量b的夹角的余弦值； (2)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求实数k的值． [解]　(1)∵a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)， ∴a·b＝(1,1,0)·(－1,0,2)＝－1， 又|a|＝＝， |b|＝＝， ∴cos〈a，b〉＝＝＝－，即向量a与向量b的夹角的余弦值为－． (2)法一：∵ka＋b＝(k－1，k,2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4)，且ka＋b与ka－2b互相垂直， ∴(k－1，k,2)·(k＋2，k，－4)＝(k－1)(k＋2)＋k2－8＝0， ∴k＝2或k＝－， ∴当ka＋b与ka－2b互相垂直时，实数k的值为2或－． 法二：由(1)知|a|＝，|b|＝，a·b＝－1， ∴(ka＋b)·(ka－2b)＝k2a2－ka·b－2b2＝2k2＋k－10＝0，得k＝2或k＝－． 10．已知正三棱柱ABC­A1B1C1，底面边长AB＝2，AB1⊥BC1，点O，O1分别是边AC，A1C1的中点，建立如图所示的空间直角坐标系． (1)求正三棱柱的侧棱长； (2)求向量与夹角的余弦值． [解]　(1)设正三棱柱的侧棱长为h， 由题意得A(0，－1,0)，B(，0,0)，C(0,1,0)，B1(，0，h)，C1(0,