（练习）课时分层作业4 空间向量基本定理-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册(苏教版2019)

课时分层作业(四)　空间向量基本定理 一、选择题 1．若向量{a，b，c}是空间的一个基底，则一定可以与向量p＝2a＋b，q＝2a－b构成空间的另一个基底的向量是(　　) A．a B．b C．c D．a＋b C　[由p＝2a＋b，q＝2a－b得a＝p＋q，所以a、p、q共面，故a、p、q不能构成空间的一个基底，排除A；因为b＝p－q，所以b、p、q共面，故b、p、q不能构成空间的一个基底，排除B；因为a＋b＝p－q，所以a＋b、p、q共面，故a＋b、p、q不能构成空间的一个基底，排除D．] 2．在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，M是上底面对角线AC与BD的交点，若＝a，＝b，＝c，则 可表示为(　　) A．a＋b＋c B．a－b＋c C．－a－b＋c D．－a＋b＋c D　[由于＝＋＝＋(＋) ＝－a＋b＋c，故选D．] 3．若向量，，的起点M与终点A，B，C互不重合，且点M，A，B，C中无三点共线，满足下列关系(O是空间任一点)，则能使向量，，成为空间一个基底的关系是(　　) A．＝＋＋ B．≠＋ C．＝＋＋ D．＝2－ C　[若，，为空间一组基向量，则M，A，B，C四点不共面．选项A中，因为＋＋＝1，所以点M，A，B，C共面；选项B中，≠＋，但可能存在实数λ，μ使得＝λ＋μ，所以点M，A，B，C可能共面；选项D中，四点M，A，B，C显然共面．故选C．] 4．空间四边形OABC中，＝a，＝b，＝c，点M在OA上，且＝2，N为BC中点，则为(　　) A．a－b＋c B．－a＋b＋c C．a＋b－c D．a＋b－c B　[＝＋＋＝＋－＋(－)＝－＋＋ ＝－a＋b＋c．] 5．平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，向量，，两两的夹角均为60°且||＝1，||＝2，||＝3，则||等于(　　) A．5 B．6 C．4 D．8 A　[在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中有，＝＋＋＝＋＋， 所以有||＝|＋＋|，于是有||2＝|＋＋|2＝||2＋||2＋||2＋2||·||·cos 60°＋2||·||·cos 60°＋2||·||·cos 60°＝25， 所以||＝5．] 二、填空题 6．在斜三棱柱ABC­A1B1C1中，底面边长和侧棱长都为2，若＝a，＝b，＝c，且∠BAA1＝∠CAA1＝60°，则·的值为________． 4　[根据题意，画出斜三棱柱ABC­A1B1C1，如图所示， 由题意得＝a＋b，＝＋＝－＋＝a＋c－b，所以·＝(a＋b)·(a＋c－b)＝a2＋a·c＋b·c－b2＝|a|2＋|a||c|·cos∠CAA1＋|b||c|cos∠BAC－|b|2＝22＋2×2×cos 60°＋2×2×cos 60°－22＝4．] 7．已知{a，b，c}是空间的一个单位正交基底，{a＋b，a－b，c}是空间的另一个基底，若向量m在基底{a，b，c}下表示为m＝3a＋5b＋9c，则m在基底{a＋b，a－b,3c}下可表示为________． 4(a＋b)－(a－b)＋3(3c)　[由题意知，m＝3a＋5b＋9c，设m＝x(a＋b)＋y(a－b)＋z(3c)， 则有解得 则m在基底{a＋b，a－b,3c}下可表示为m＝4(a＋b)－(a－b)＋3(3c)．] 8．在四棱锥P­ABCD中，ABCD为平行四边形，AC与BD交于O，G为BD上一点，BG＝2GD，＝a，＝b，＝c，试用基底{a，b，c}表示向量＝________． a－b＋c　[因为BG＝2GD，所以＝． 又＝＋＝－＋－＝a＋c－2b， 所以＝＋＝b＋(a＋c－2b) ＝a－b＋c．] 三、解答题 9．如图所示，正方体OABC­O′A′B′C′，且＝a，＝b，＝c． (1)用a，b，c表示向量，； (2)设G，H分别是侧面BB′C′C和O′A′B′C′的中心，用a，b，c表示． [解]　(1)＝＋＝＋＋＝a＋b＋c． ＝＋＝＋＋＝＋－＝b＋c－a． (2)法一：连接OG，OH(图略)， 则＝＋＝－＋ ＝－(＋)＋(＋) ＝－(a＋b＋c＋b)＋(a＋b＋c＋c) ＝(c－b)． 法二：连接O′C(图略)，则＝＝(－)＝(c－b)． 10．如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝1，BC＝2，AA1＝3，E为CC1上的点，且CE＝1，求与夹角的余弦值． [解]　令＝a，＝b，＝c， ∴|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，a·b＝a·c＝b·c＝0， ∴{a，b，c}能作为一组基底． ∵＝a＋c，＝＋＝b＋c， ∴·＝(a＋c)·＝a·b＋a·c＋b·c＋c2＝3． 又||＝，||＝， ∴cos〈，〉＝＝． 11．(多选题)已知a，b，c是不共面的三个向量，则下列向量组中，不能构成一个基底的一组向量