（练习）课时分层作业2 空间向量的数量积-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册(苏教版2019)

课时分层作业(二)　空间向量的数量积 一、选择题 1．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，向量在平面ADD1A1上的投影向量为(　　) A． B． C． D． D　[由题图可知，向量在平面ADD1A1上的投影向量为．] 2．已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3，且(3a＋2b)⊥(λa－b)，则λ等于(　　) A． B．－ C．± D．1 A　[∵a⊥b， ∴a·b＝0， ∵3a＋2b⊥λa－b， ∴(3a＋2b)·(λa－b)＝0， 即3λa2＋(2λ－3)a·b－2b2＝0， ∴12λ－18＝0，解得λ＝．] 3．已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为a，A1C与B1D相交于点O，则有(　　) A．·＝a2 B．·＝a2 C．·＝a2 D．·＝a A　[对于A，||＝a，||＝a，〈，〉＝〈，〉＝， 所以·＝a·a·cos ＝a2，所以A正确． 对于B，||＝a，||＝a，〈，〉＝〈，〉，所以·＝a·acos∠CA1B1＝a2·＝a2·＝a2，所以B错误． 对于C，||＝a，||＝a，〈，〉＝〈，〉＝π－∠B1AB＝，所以·＝a·a·cos ＝－a2，所以C错误． 对于D，||＝a，||＝a，〈，〉＝〈，〉， 所以·＝a·acos∠CA1B1＝a2·＝a2·＝a2，所以D错误．故选A．] 4．设A，B，C，D是空间不共面的四个点，且满足·＝0，·＝0，·＝0，则△BCD的形状是(　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 A　[·＝(－)·(－)＝·－·－·＋·＝||2>0，则cos B>0，所以B是锐角，同理D，C都是锐角，故△BCD是锐角三角形，故选A．] 5．如图所示，在平行六面体ABCD­A′B′C′D′中，AB＝1，AD＝2，AA′＝3，∠BAD＝90°，∠BAA′＝∠DAA′＝60°，则AC′的长为(　　) A． B． C． D． B　[∵＝＋＋， ∴2＝(＋＋)2 ＝2＋2＋2＋2(·＋·＋·) ＝12＋22＋32＋2(0＋1×3cos 60°＋2×3cos 60°) ＝14＋2×＝23， ∴||＝，即AC′的长为．] 二、填空题 6．已知a，b是空间两个向量，若|a|＝2，|b|＝2，|a－b|＝，则cos〈a，b〉＝________． 　[将|a－b|＝两边平方，得(a－b)2＝7． 因为|a|＝2，|b|＝2，所以a·b＝． 又a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，故cos〈a，b〉＝．] 7．已知向量e1，e2，e3是两两垂直的单位向量，且a＝3e1＋2e2－e3，b＝e1＋2e3，则(6a)·＝___________． 3　[因为向量e1，e2，e3是两两垂直的单位向量，且a＝3e1＋2e2－e3，b＝e1＋2e3， 所以(6a)·＝3a·b＝3×(3e1＋2e2－e3)·(e1＋2e3) ＝3×(3e＋6e1·e3＋2e1·e2＋4e2·e3－e1·e3－2e)＝9|e1|2－6|e3|2＝3．] 8．已知|a|＝2，|b|＝1，〈a，b〉＝60°，则使向量a＋λb与λa－2b的夹角为钝角的实数λ的取值范围是________． (－1－，－1＋)　[由题意知 即 得λ2＋2λ－2<0．∴－1－<λ<－1＋．] 三、解答题 9．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠BAD＝120°，PA⊥平面ABCD，且PA＝6．求PC的长． [解]　因为＝＋＋， 所以||2＝|＋＋|2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝62＋42＋32＋2×4×3×cos 120°＝49，所以||＝7．所以PC＝7． 10．如图，已知直三棱柱ABC­A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D，E分别为AB，BB′的中点． (1)求证：CE ⊥A′D； (2)求向量与所成角的余弦值． [解]　(1)证明：设＝a，＝b，＝c， 根据题意得|a|＝|b|＝|c|，且a·b＝b·c＝c·a＝0． ∴＝b＋c，＝－c＋b－a． ∴·＝· ＝－c2＋b2＝0， ∴⊥，即CE⊥A′D． (2)∵＝－a＋c， ∴||＝|a|，||＝|a|， ∵·＝(－a＋c)·＝c2＝|a|2， ∴cos〈，〉＝＝． ∴向量和所成角的余弦值为． 11．(多选题)在正方体ABCD­A1B1C1D1中，下列命题正确的有(　　) A．(＋＋)2＝32 B．·(－)＝0 C．与的夹角为60° D．正方体的体积为|··| AB　[如图，(＋＋)2＝(＋＋)2＝2＝32； ·(－)＝·＝0； 与的夹角是与夹角的补角，而与的夹角为60°，故与的夹角为120°； 正方体的体积为||||||．故选AB．] 12．已知正方体ABCD­