（讲义）第11章 11.1 余弦定理-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册(苏教版2019)

11.1　 余弦定理 1．掌握余弦定理及其证明方法，并解决一些简单的三角形度量问题．(重点、难点) 2．能够运用余弦定理解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．(重点) 1．通过向量的数量积推证余弦定理，提升数学抽象素养． 2．在用余弦定理处理解三角形问题中，发展数学运算素养． 如图，在△ABC中，若角A，B，C的对边分别为a，b，c，你能用平面向量的知识推导出边a，b，c与角A之间的数量关系吗？ 知识点1　余弦定理 三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍． 即a2＝b2＋c2－2bccos A， b2＝c2＋a2－2cacos_B， c2＝a2＋b2－2abcos_C． 1．根据勾股定理，若△ABC中，C＝90°，则c2＝a2＋b2＝a2＋b2－2abcos C． ① 试验证①式对等边三角形还成立吗？你有什么猜想？ [提示]　当a＝b＝c时，C＝60°， a2＋b2－2abcos C＝c2＋c2－2c·ccos 60°＝c2， 即①式仍成立，据此猜想，对一般△ABC，都有c2＝a2＋b2－2abcos C． 1．在△ABC中，若b＝1，c＝，A＝，则a＝______． 1　　[a＝＝1．] 知识点2　余弦定理的变形 (1)余弦定理的变形 cos A＝， cos B＝， cos C＝． (2)余弦定理与勾股定理的关系 在△ABC中，c2＝a2＋b2⇔C为直角；c2>a2＋b2⇔C为钝角；c2<a2＋b2⇔C为锐角． 2．勾股定理和余弦定理有何联系与区别？ [提示]　二者都反映了三角形三边之间的平方关系；其中余弦定理反映了任意三角形中三边平方间的关系，勾股定理反映了直角三角形中三边平方间的关系，是余弦定理的特例． 2．在△ABC中，a＝3，b＝，c＝2，则B＝______． 60°　[∵cos B＝＝＝，∴B＝60°．] 3．在△ABC中，若b2＋c2－a2<0，则△ABC必为________三角形． 钝角　[∵cos A＝<0， ∴A∈(90°，180°)． ∴△ABC为钝角三角形．] 知识点3　解三角形 (1)一般地，我们把三角形的三个角和三条边叫作三角形的元素． (2)已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫作解三角形． 4．在△ABC中，若a＝5，c＝4，cos A＝，则b＝________． 6　[由余弦定理可知 25＝b2＋16－2×4bcos A， 即b2－b－9＝0， 解得b＝6(舍负)．] 类型1　已知两边与一角解三角形 【例1】　(1)在△ABC中，已知b＝60 cm，c＝60 cm，A＝，则a＝________ cm； (2)在△ABC中，若AB＝，AC＝5，且cos C＝，则BC＝________． (1)60　(2)4或5　[(1)由余弦定理得： a＝＝ 60(cm)． (2)由余弦定理得：()2＝52＋BC2－2×5×BC×， 所以BC2－9BC＋20＝0，解得BC＝4或BC＝5．] 1．已知两边和夹角求第三边，直接利用余弦定理计算，已知两边和其中一边所对的角，求第三边，利用余弦定理列方程求解． 2．已知三角形的两边及一角解三角形的方法， 先利用余弦定理求出第三边，然后利用余弦定理的推论求出其余角． [跟进训练] 1．在△ABC中，a＝2，c＝＋，B＝45°，解这个三角形． [解]　根据余弦定理得， b2＝a2＋c2－2accos B＝(2)2＋(＋)2－2×2×(＋)×cos 45°＝8，∴b＝2． 又∵cos A＝＝＝，∴A＝60°，C＝180°－(A＋B)＝75°． ∴A＝60°，C＝75°，b＝2． 类型2　已知三边解三角形 【例2】　在△ABC中，已知a＝2，b＝6＋2，c＝4，求A，B，C． [解]　根据余弦定理，cos A＝ ＝＝． ∵A∈(0，π)，∴A＝． cos C＝ ＝＝， ∵C∈(0，π)，∴C＝． ∴B＝π－A－C＝π－－＝， ∴A＝，B＝，C＝． 1．已知三边求角的基本思路是：利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值为正，角为锐角；值为负，角为钝角，其思路清晰，结果唯一． 2．若已知三角形的三边的关系或比例关系，常根据边的关系直接代入化简或利用比例性质，转化为已知三边求解． [跟进训练] 2．已知△ABC中，a∶b∶c＝2∶∶(＋1)，求△ABC中各角的度数． [解]　已知a∶b∶c＝2∶∶(＋1)， 令a＝2k，b＝k，c＝(＋1)k(k＞0)， 由余弦定理的推论，得cos A＝ ＝＝． ∵0°<A<180°，∴A＝45°． cos B＝ ＝＝， ∵0°<B<180°，∴B＝60°． ∴C＝180°－A－B＝180°－45°－60°＝75°． ∴A＝45°，B＝60°，C＝75°． 类型3　余弦定理的综合应用 【例3】　在