（讲义）第10章 10.2 二倍角的三角函数-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册(苏教版2019)

10.2　二倍角的三角函数 1．能从和角公式推导倍角公式，理解化归思想在三角变换中的作用．(重点) 2．能用倍角公式进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明．(重点、难点) 1．通过二倍角公式的推导和应用，提升逻辑推理素养． 2．依托倍角公式的应用，提升数学运算素养． (1)在公式S(α＋β)，C(α＋β)，T(α＋β)中，若令α＝β，你会发现什么？ (2)在C2α公式中，还有其他表示形式吗？ 知识点　倍角公式 (1)sin 2α＝2sin αcos α； (2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； (3)tan 2α＝． (1)T2α对任意角α都成立吗？ (2)倍角公式中的“倍角”只能是2α吗？ [提示]　(1)不是．所含各角要使正切函数有意义． (2)倍角公式中的“倍角”具有相对性，对于两个角的比值等于2的情况都成立，如6α是3α的2倍，3α是的2倍．这就是说，“倍”是相对而言的，是描述两个数量之间的关系的． 1．已知sin α＝，cos α＝，则sin 2α等于(　　) A． B． C． D． D　[∵sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝，故选D．] 2．计算1－2sin222.5°等于(　　) A． B． C． D． B　[1－2sin222.5°＝cos 45°＝，故选B．] 3．若tan α＝3，则tan 2α＝________． －　[∵tan α＝3， ∴tan 2α＝＝＝－．] 类型1　直接应用二倍角公式求值 【例1】　已知sin 2α＝，＜α＜，求sin 4α，cos 4α，tan 4α的值． [解]　由＜α＜，得＜2α＜π． 又因为sin 2α＝， 所以cos 2α＝－＝－＝－． 于是sin 4α＝2sin 2αcos 2α＝2××＝－； cos 4α＝1－2sin22α＝1－2×＝； tan 4α＝＝＝－． 对二倍角公式的理解及二倍角公式的应用形式 对于“二倍角”应该有广义上的理解，如：8α是4α的二倍角，6α是3α的二倍角，4α是2α的二倍角，3α是α的二倍角，是的二倍角，是的二倍角，…；又如α＝2·，＝2·，…． [跟进训练] 1．求下列各式的值． (1)sinsin；(2)cos215°－cos275°； (3)2cos2－1；(4)． [解]　(1)∵sin＝sin＝cos， ∴sinsin＝sincos＝×2sincos＝sin＝． (2)∵cos275°＝cos2(90°－15°)＝sin215°， ∴cos215°－cos275°＝cos215°－sin215°＝cos 30°＝． (3)2cos2－1＝cos＝－． (4)＝×＝tan 60°＝． 类型2　逆用二倍角公式化简求值 【例2】　化简：． [解]　原式＝ ＝ ＝＝＝1． 1．三角函数的化简有四个方向，即分别从“角”“函数名”“幂”“形”着手分析，消除差异． 2．解决此类非特殊角的求值问题，其关键是利用公式转化为特殊角求值，要充分观察角与角之间的联系，看角是否有倍数关系，能否用二倍角公式求值，是否是互余关系，能否进行正弦与余弦的互化；要充分根据已知式的结构形式，选择公式进行变形并求值． [跟进训练] 2．求下列各式的值： (1)2sincos； (2)1－2sin2750°； (3)； (4)coscos． [解]　(1)原式＝sin＝sin＝． (2)原式＝cos(2×750°)＝cos 1 500°＝cos(60°＋4×360°)＝cos 60°＝． (3)原式＝tan(2×150°)＝tan 300°＝tan(360°－60°)＝－tan 60°＝－． (4)原式＝coscos＝cossin ＝＝sin＝×＝． 类型3　活用“倍角”关系巧解题 【例3】　已知sin＝，0＜x＜，求的值． 本题中角“－x”与角“\f(π,4)＋x”有什么关系？如何借助诱导公式实现cos 2x与sin的转换？ [解]　∵＋＝， ∴sin＝cos＝， 又0＜x＜， ∴＜x＋＜， ∴sin＝． ∴＝ ＝ ＝2sin＝． [母题探究] 1．(变结论)本例条件不变，求cos 2x． [解]　∵0<x<， ∴0<－x<，由sin＝， 得cos＝， cos 2x＝sin＝sin 2 ＝2sincos＝2××＝． 2．(变结论)本例条件不变，求的值． [解]　∵＋＝， ∴cos＝sin＝． ∵＝ ＝＝2sin xcos x ＝sin 2x， 又sin 2x＝－cos ＝1－2cos2＝1－2×＝． ∴＝． 当遇到±x这样的角时可利用角的互余关系和诱导公式，将条件与结论沟通．cos 2x＝sin＝2sincos． 类似这样的变换还有： (1)cos 2x＝sin