（讲义）第9章 平面向量 章末综合提升-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册(苏教版2019)

类型1　向量的线性运算 向量线性运算包括向量的加法、减法和数乘运算，而向量共线定理和平面向量基本定理是进行向量合成与分解的核心，是向量运算的关键所在，常用它们解决平面几何中的共线、共点问题；三角形法则和平行四边形法则是向量加、减的两个重要依据，在向量表示中常常结合平面几何知识灵活应用． 【例1】　如图，在直角梯形ABCD中，AB＝2AD＝2DC，E为BC边上一点，＝3，F为AE的中点，以、为基底表示向量． [解]　如图，取AB的中点G，连接DG，CG，则易知四边形DCBG为平行四边形，所以＝＝－＝－，所以＝＋＝＋＝＋＝＋，于是＝－＝－＝－＝－＋． 类型2　向量数量积的运算 平面向量的数量积的计算通常有三种方法：数量积的定义，坐标运算及数量积的几何意义．利用数量积可以求向量的模(|a|＝＝)和夹角，求解时要灵活，即适合建系的借助坐标法求解，不适合建系的可借助基底，先把向量分解，再借助定义求解． 【例2】　设向量＝a，＝b，且||＝||＝4，∠AOB＝60°． (1)求|a＋b|，|a－b|； (2)求a＋b与a的夹角θ1，a－b与a的夹角θ2． [解]　(1)∵|a＋b|2＝(a＋b)(a＋b)＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝16＋2×4×4cos 60°＋16＝48， ∴|a＋b|＝4， ∴|a－b|2＝|a|2－2a·b＋|b|2＝16， ∴|a－b|＝4． (2)∵(a＋b)·a＝|a|2＋a·b＝16＋4×4cos 60°＝24， ∴cos θ1＝＝＝． ∵0°≤θ1≤180°，∴θ1＝30°． ∵(a－b)·a＝|a|2－a·b＝16－4×4cos 60°＝8， ∴cos θ2＝＝＝． ∵0°≤θ2≤180°，∴θ2＝60°． 类型3　向量的应用 在本章中，平面向量的应用主要体现在两个方面：一是利用平面向量解决平面几何中的位置关系，如平行、垂直、共线等等；二是利用平面向量处理物理学中的合力、速度、位移等问题，体现了数与形的完美结合． 【例3】　如图，在等腰直角△ABC中，角C是直角，CA＝CB，D是CB的中点，E是AB上的一点，且AE＝2EB，求证：AD⊥CE． [证明]　法一：记＝a，＝b， 则＝b－a，且a·b＝0，|a|＝|b|． 因为＝－＝b－a， ＝－＝(b－a)＋a＝b＋a， 所以·＝·＝b2－a2＝0．所以AD⊥CE． 法二：建立如图所示的直角坐标系，不妨设AC＝BC＝2， 则C(0,0)，A(2,0)，B(0,2)， 因为D是CB的中点，则D(0,1)． 所以＝(－2,1)，＝(－2,2)． 又＝＋＝＋＝(2,0)＋(－2,2)＝，所以·＝(－2,1)·＝(－2)×＋＝0，因此AD⊥CE． 类型4　向量的综合应用 平面向量的线性运算和数量积运算的定义及运算法则、运算律的推导中都渗透了数形结合思想．引入向量的坐标表示，使向量运算代数化，有两种途径：选择基底和通过坐标运算，可解决共线、平行、垂直、夹角、距离、面积等问题． 【例4】　如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝3，D是BC的中点，点E满足＝2，BE与AD交于点G． (1)设＝λ，求实数λ的值； (2)设H是BE上一点，且·＝·，求·的值． [解]　法一：(1)设＝a，＝b，因为＝λ，D是BC的中点， 所以＝λ·＝a＋b． ① 设＝t，0<t<1， 故－＝t，整理得＝t＋， 又＝2，即＝， 所以＝t·＋＝a＋b． ② 联立①②，据平面向量基本定理，得 解得λ＝，t＝，所以实数λ的值为． (2)因为·＝·， 所以·＝0，即·＝0， 所以·＝·＝·－·＝－·＝－·＝－(a2－b2)＝－×＝－2． 法二：(1)以A为原点，AC为x轴建立如图直角坐标系， 则B(0,2)，C(3,0)， 因为D是BC的中点， 所以D． 因为＝2， 所以＝，即E(2,0)． 因为＝λ＝，即G， 所以＝(2，－2)，＝． 因为B，G，E三点共线， 所以∥， 即－2＋2λ＝0，解得λ＝． (2)因为·＝·， 所以·(－)＝0， 即·＝0， 所以·＝(－)·＝·－·＝－·＝－·(3，－2)＝－2． 学科网（北京）股份有限公司 $$