（讲义）第9章 9.3 9.3.1 平面向量基本定理-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册(苏教版2019)

9.3　向量基本定理及坐标表示 9.3.1　平面向量基本定理 1．了解平面向量基本定理及其意义．(重点) 2．理解基底的概念和作用，会用基底表示平面内任一向量．(重点) 3．能运用平面向量基本定理解决一些平面几何的证明问题．(重点、难点) 1．在探索平面向量基本定理的过程中，发展直观想象和逻辑推理素养． 2．在运用平面向量基本定理解决相关问题的过程中，发展逻辑推理和数学运算素养． 火箭在升空的某一时刻，速度可以分解成竖直向上和水平向前的两个分速度，在力的分解的平行四边形法则中，我们看到一个力可以分解为两个不共线方向的力的和． 那么，平面内任一向量是否可以用两个不共线的向量来表示呢？ 知识点1　平面向量基本定理 (1)定理：如果e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2． (2)基底：两个不共线的向量e1，e2叫作这个平面的一组基底． 如果e1，e2是两个不共线的确定向量，那么与e1，e2在同一平面内的任一向量a能否用e1，e2表示？依据是什么？ [提示]　能．依据是数乘向量和平行四边形法则． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)同一平面内只有不共线的两个向量可以作为基底． (　　) (2)0能与另外一个向量a构成基底． (　　) (3)平面向量的基底不是唯一的． (　　) [提示]　平面内任意一对不共线的向量都可以作为基底，故(2)是错误的．(1)，(3)正确． [答案]　(1)√　(2)×　(3)√ 2．已知向量a与b是一组基底，实数x，y满足(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，则x－y＝________． 3　[由原式可得解得所以x－y＝3．] 知识点2　平面向量的正交分解 由平面向量基本定理知，平面内任一向量a可以用一组基底e1，e2表示成a＝λ1e1＋λ2e2的形式．我们称λ1e1＋λ2e2为向量a的分解．当e1，e2所在直线互相垂直时，这种分解也称为向量a的正交分解． 3．如图，若|e1|＝|e2|＝1，且e1·e2＝0，则a＝________，b＝________．(用向量e1，e2表示) [答案]　e1＋e2　e1＋3e2 类型1　对向量基底的理解 【例1】　如果e1，e2是平面α内所有向量的一组基底，则下列说法正确的是(　　) A．若实数λ1，λ2，使λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＝λ2＝0 B．空间任一向量a可以表示为a＝λ1e1＋λ2e2，这里λ1，λ2为实数 C．对实数λ1，λ2，λ1e1＋λ2e2不一定在该平面内 D．对平面内任一向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的实数λ1，λ2有无数对 A　[平面α内任一向量都可写成e1与e2的线性组合形式，而不是空间内任一向量，故B不正确；对任意实数λ1，λ2，向量λ1e1＋λ2e2一定在平面α内，故C不正确；而对平面α内的任一向量a，实数λ1，λ2是唯一的，故D不正确．] 考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否非零且不共线．此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来． [跟进训练] 1．若向量a，b不共线，且c＝2a－b，d＝3a－2b，试判断c，d能否作为基底． [解]　设存在实数λ使得c＝λd，则2a－b＝λ(3a－2b)，即(2－3λ)a＋(2λ－1)b＝0． 由于a，b不共线，从而2－3λ＝2λ－1＝0，这样的λ是不存在的，从而c，d不共线，故c，d能作为基底． 类型2　用基底表示向量 【例2】　如图所示，在△ABC中，点M是AB的中点，且＝，BN与CM相交于点E，设＝a，＝b，试用基底a，b表示向量． [解]　法一：由已知，在△ABC中，＝，且＝，已知BN与CM交于点E，过N作AB的平行线，交CM于D，如图所示． 在△ACM中，＝＝， 所以＝＝＝， 所以＝， ＝＋＝＋ ＝＋(＋) ＝＋ ＝＋＝a＋b． 法二：易得＝＝b，＝＝a， 由N，E，B三点共线知存在实数m，满足 ＝m＋(1－m)＝mb＋(1－m)a． 由C，E，M三点共线知存在实数n，满足 ＝n＋(1－n)＝na＋(1－n)b． 所以mb＋(1－m)a＝na＋(1－n)b． 因为a，b为基底，所以 解得所以＝a＋b． 将两个不共线的向量作为基底表示其他向量，基本方法有两种：一种是运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直到用基底表示为止；另一种是通过列向量方程，利用基底表示向量的唯一性求解. [跟进训练] 2．如图所示，已知▱ABCD的边BC，CD上的中点分别为K，L，且＝e1，＝e2，试用e1，e2表示，． [解]　设＝a，＝b，则 由得 ∴ ∴＝－＝(2e1－e2)， ∴＝e2－e1，＝＝e2－e1． 类型3　平面向