（练习）课时分层作业15 几个三角恒等式-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册(苏教版2019)

课时分层作业(十五)　几个三角恒等式 一、选择题 1．若A＋B＝120°，则sin A＋sin B的最大值是(　　) A．1 B． C． D． C　[sin A＋sin B＝2sincos ＝cos≤，∴最大值为．] 2．若sin θ＝，<θ<3π，则tan＋cos＝(　　) A．3＋ B．3－ C．3＋ D．3－ B　[因为sin θ＝，<θ<3π，所以cos θ＝－＝－．又<<，所以sin<0，cos<0，则sin＝－＝－，cos＝－＝－，则tan＝＝3，所以tan＋cos＝3－．] 3．＝(　　) A． B．－ C． D．－ D　[原式＝＝－＝－．] 4．设π<α<3π，cos α＝m，cos＝n，cos＝p，下列各式中正确的是(　　) A．n＝－ 　 B．n＝ C．p＝ 　 D．p＝－ A　[∵<<，∴cos ＝－， 即n＝－，此外由于<<， 因此cos 的符号不能确定．] 5．若α是第三象限角且sin(α＋β)cos β－sin βcos(α＋β)＝－，则tan＝(　　) A．－5 B．5 C．－ D． A　[易知sin α＝－，α为第三象限角， ∴cos α＝－． ∴tan ＝＝ ＝＝＝－5．] 二、填空题 6．若cos(α＋β)cos(α－β)＝，则cos2α－sin2β＝________． 　[cos(α＋β)cos(α－β)＝(cos 2α＋cos 2β) ＝[(2cos2α－1)＋(1－2sin2β)]＝cos2α－sin2β， ∴cos2α－sin2β＝．] 7．若cos2α－cos2β＝m，则sin(α＋β)sin(α－β)＝________． －m　[sin(α＋β)sin(α－β)＝－(cos 2α－cos 2β)＝－(2cos2α－1－2cos2β＋1)＝cos2β－cos2α＝－m．] 8．函数y＝sincos x的最小值是________． －　[y＝sincos x＝ ＝＝sin－， 当sin＝－1时，y取得最小值为－．] 三、解答题 9．求函数f(x)＝sin x的最小正周期与最值． [解]　f(x)＝sin x ＝sin x·2cossin ＝－sin xcos ＝－ ＝－sin＋． ∴最小正周期为T＝＝π． ∵sin∈[－1,1]， ∴f(x)max＝，f(x)min＝－． 10．已知3tan＝tan，求证：sin 2α＝1． [证明]　∵3tan＝tan， ∴＝， ∴3sincos＝sincos， ∴＝， ∴3sin 2α－＝sin 2α＋，∴sin 2α＝1． 11．sin220°＋cos280°＋sin 20°cos 80°的值是(　　) A． B． C． D．1 A　[原式＝＋＋(sin 100°－sin 60°)＝1－(cos 40°＋cos 20°)＋cos 10°－＝1－cos 30°cos 10°＋cos 10°－＝．] 12．(多选题)下列各式与tan α相等的是(　　) A． B． C．·(α∈(0，π)) D． CD　[A不符合，＝＝＝|tan α|； B不符合，＝＝tan ； C符合，因为α∈(0，π)，所以原式＝·＝＝tan α； D符合，＝＝tan α．] 13．如图，实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线C，各段弧所在的圆经过同一点P(点P不在C上)且半径相等，设第i段弧所对的圆心角为αi(i＝1,2,3)，则coscos－sinsin＝________． －　[设三段圆弧交于A，B，D三点，连接PA，PB，PD(图略)，则∠APB＋∠APD＋∠BPD＝2π，从而α1＋α2＋α3＝4π，所以coscos－sinsin＝cos＝cos＝－．] 14．若θ∈，且cos·cos＝，则cos 2θ＝________，sin θ＋cos θ＝________． 　－　[cos·cos＝＝cos 2θ＝，∴cos 2θ＝．又θ∈，∴2θ＝，即θ＝，∴sin θ＋cos θ＝sin＝sin ＝×＝－．] 15．如图，已知OPQ是半径为1，圆心角为的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形．记∠COP＝α，求当角α取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积． [解]　在直角三角形OBC中，OB＝cos α，BC＝sin α． 在直角三角形OAD中，＝tan 60°＝． ∴OA＝DA＝sin α， ∴AB＝OB－OA＝cos α－sin α． 设矩形ABCD的面积为S，则 S＝AB·BC＝sin α ＝sin αcos α－sin2α ＝sin 2α－(1－cos 2α) ＝sin 2α＋cos 2α－ ＝－ ＝sin－． ∵0<α<， ∴＜2α＋＜， ∴当