（练习）课时分层作业6 平面向量基本定理-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册(苏教版2019)

课时分层作业(六)　平面向量基本定理 一、选择题 1．设O是平行四边形ABCD的两条对角线AC与BD的交点，有下列向量组：①与；②与；③与；④与．其中可作为这个平行四边形所在平面内其他所有向量的基底的是(　　) A．①④ B．②③ C．①③ D．②④ C　[如图所示，与为不共线向量，可以作为基底．与为不共线向量，可以作为基底．与，与均为共线向量，不能作为基底．] 2．已知向量a＝e1－2e2，b＝2e1＋e2，其中e1，e2不共线，则a＋b与c＝6e1－2e2的关系是(　　) A．不共线 B．共线 C．相等 D．不确定 B　[a＋b＝3e1－e2，所以c＝2(a＋b)，所以a＋b与c共线．] 3．若e1，e2是表示平面所有向量的一组基底，且a＝3e1－4e2，b＝6e1＋ke2不能作为一组基底，则k的值为(　　) A．－2 B．－4 C．－6 D．－8 D　[易知a∥b，故设3e1－4e2＝λ(6e1＋ke2)， ∴∴k＝－8．] 4．中国古代著名数学家赵爽在《周髀算经》中利用一幅“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，如图所示，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，在“赵爽弦图”中，若＝a，＝b，＝3，则＝(　　) A．a＋b B．a＋b C．a＋b D．a＋b B　[由题意得＝＋＝＋＝＋(＋)＝＋，得＝＋，即＝a＋b，故选B．] 5．已知向量a，b不共线．若a，b的起点相同，且向量a，tb，(a＋b)的终点在同一条直线上，则实数t的值为(　　) A．2 020 B．2 021 C．2 022 D．2 023 C　[由题意知存在λ∈R，使得(a＋b)＝λa＋(1－λ)tb，由平面向量基本定理，得解得故选C．] 二、填空题 6．如图，在正方形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，则在以a，b为基底时，可表示为________，在以a，c为基底时，可表示为________． a＋b　2a＋c　[由平行四边形法则可知，＝＋＝a＋b，以a，c为基底时，＝＋＝＋＝c＋a， ＝＋＝a＋c＋a＝2a＋c．] 7．已知e1，e2不共线，a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，要使a，b能作为平面内的一组基底，则实数λ的取值范围为________． (－∞，4)∪(4，＋∞)　[若能作为平面内的一组基底，则a与b不共线．a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，由a≠kb，即得λ≠4．] 8．如图，在△ABC中，＝a，＝b，＝c，三边BC，CA，AB的中点依次为D，E，F，则＋＋＝________． 0　[原式＝(＋)＋(＋)＋(＋)＝0．] 三、解答题 9．如图，在▱ABCD中，＝a，＝b，E，F分别是AB，BC的中点，G点使＝，试以a，b为基底表示向量与． [解]　＝＋＝＋ ＝＋＝a＋b． ＝＋＋ ＝－＋＋ ＝－a＋b＋a＝－a＋b． 10．设e1，e2为两个不共线的向量，a＝－e1＋3e2，b＝4e1＋2e2，c＝－3e1＋12e2，试用b，c为基底表示向量a． [解]　设a＝λ1b＋λ2c，λ1，λ2∈R，则 －e1＋3e2＝λ1(4e1＋2e2)＋λ2(－3e1＋12e2)， 即－e1＋3e2＝(4λ1－3λ2)e1＋(2λ1＋12λ2)e2， ∴∴ ∴a＝－b＋c． 11．(多选题)等边三角形ABC中，＝，＝2，AD与BE交于点F，则下列结论正确的是(　　) A．＝(＋) B．＝＋ C．＝ D．＝＋ AC　[如图，∵＝， ∴D为BC的中点， ∴＝(＋)， ∴A正确； ∵＝2， ∴＝＝(－)， ∴＝＋＝＋(－)＝＋，∴B错误； 设＝λ＝＋＝＋， ∵B，F，E三点共线， ∴＋＝1，解得λ＝， ∴＝，∴C正确； ＝＋＝＋＝＋(－)＝＋－＝＋，∴D错误．] 12．点M是△ABC所在平面内的一点，且满足＝＋，则△ABM与△ABC的面积之比为(　　) A． B． C． D． B　[如图，分别在，上取点E，F， 使＝，＝， 在上取点G，使＝， 则EG∥AC，FG∥AE， ∴＝＋＝， ∴M与G重合，∴＝＝．] 13．如图，在△ABC中，＝，P是BN上的一点，若＝m＋，则实数m的值为________． 　[设＝λ，＝－＝m＋－＝m－，λ＝λ(－)＝λ－，∴ ∴m＝λ＝．] 14．如图所示，OM∥AB，点P在由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内(不含边界)运动，且＝x＋y，则x的取值范围是________；当x＝－时，y的取值范围是________． (－∞，0)　　[设＝a＋b(a，b为正实数，0<b<1)，＝λ(λ>0)， 则＝aλ＋b＝aλ(－)＋b＝－aλ＋(aλ＋b)． 由－aλ<0，得x∈(－∞，0)． 因为