（讲义）第7章 7.3 7.3.3 余弦函数的性质与图像-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第三册(人教B版)

7.3.3　余弦函数的性质与图像 1．会用“五点法”“图像变换法”作余弦函数和y＝Acos(ωx＋φ)的图像．(难点) 2．理解余弦函数的性质，会求余弦函数的周期、单调区间及最值．(重点、难点) 1．通过余弦函数图像和性质的学习，培养学生的直观想象核心素养． 2．借助余弦函数图像和性质的应用，提升学生的直观想象和数学运算核心素养． 过山车是一项富有刺激性的娱乐工具．那种风驰电掣、有惊无险的快感令不少人着迷．过山车的运动包含了许多物理学原理，人们在设计过山车时巧妙地运用了这些原理．如果能亲身体验一下由能量守恒、加速度和力交织在一起产生的效果，那感觉真是妙不可言．一个基本的过山车构造中，包含了爬升、滑落、倒转(儿童过山车没有倒转)等几个循环路径． 问题　(1)函数y＝cos x的图像也像过山车一样“爬升”“滑落”，这是它的什么性质？ (2)过山车爬升到最高点，接着滑落到最低点，然后再爬升，对应y＝cos x的什么性质？y＝cos x在什么位置取得最值？ [提示]　(1)单调性． (2)最值；波峰，波谷． 知识点1　余弦函数的定义 对于任意一个角x，都有唯一确定的余弦cos x与之对应，所以y＝cos x是一个函数，一般称为余弦函数． 知识点2　余弦函数的性质 定义域 与值域 定义域为R，值域为[－1,1] 当且仅当x＝2kπ，k∈Z时，ymax＝1； 当且仅当x＝π＋2kπ，k∈Z时，ymin＝－1 奇偶性 偶函数 周期 2π 单调性 单调增区间 [－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z 单调减区间 [2kπ，π＋2kπ]，k∈Z 零点 ＋kπ，k∈Z 1．(1)余弦函数的零点对应正弦函数的哪个性质？ (2)余弦型函数y＝Acos (ωx＋φ)的周期是多少？ [提示]　(1)余弦函数的零点对应正弦函数的对称轴． (2)T＝． 1．使cos x＝1－m有意义的m的值为(　　) A．m≥0　　　　　　 B．0≤m≤2 C．－1<m<1 D．m<－1或m>1 B　[因为－1≤cos x≤1，所以－1≤1－m≤1， 解得0≤m≤2．故选B．] 2．比较大小：(1)cos 15°________cos 35°； (2)cos________cos． (1)>　(2)<　[(1)因为y＝cos x在[0°，180°]上为减函数，并且0°<15°<35°<180°， 所以cos 15°>cos 35°． <　因为cos＝cos ，cos＝cos ， 并且y＝cos x在x∈[0，π]上为减函数， 又因为0<<<π， 所以cos >cos ， 即cos<cos．] 知识点3　余弦函数的图像 (1)图像． (2)对称性：对称轴x＝kπ，对称中心，k∈Z． (3)五点：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)． 2．(1)余弦函数y＝cos x能否由y＝sin x变换得到？ (2)余弦函数y＝cos x的图像与正弦函数y＝sin x的图像有何异同？ [提示]　(1)能．由诱导公式可知y＝cos x＝sin． (2)两个函数的图像大小形状完全相同，只是两图像的位置不同．由y＝cos x＝sin可知，只需把正弦函数y＝sin x的图像向左平移个单位即可得到y＝cos x的图像． 3．用“五点法”作函数y＝cos 2x，x∈R的图像时，首先应描出的五个点的横坐标是(　　) A．0，，π，，2π　 B．0，，，，π C．0，π，2π，3π，4π D．0，，，， B　[令2x＝0，，π，和2π，得x＝0，，，，π，故选B．] 类型1　余弦函数图像的画法 【例1】　(对接教材P53练习B5改编)用“五点法”作出函数y＝cos 2x的简图． [解]　列表如下： x 0 π 2x 0 π 2π cos 2x 0 － 0 描点绘图，如图所示． 画函数y＝Acos(ωx＋φ)图像时，确定“五点”的方法 在画函数y＝Acos (ωx＋φ)的图像时，所取的五点应由ωx＋φ＝0，，π，，2π来确定，而不是令x＝0，，π，，2π． 1．用“五点法”作出函数y＝cos，x∈的简图． [解]　列表如下： x － μ＝x＋ 0 π 2π y＝cos μ 1 0 －1 0 1 描点作图(如图)． 类型2　余弦函数的单调性及其应用 【例2】　(1)函数f(x) ＝5cos的一个单调递减区间是(　　) A．　　　 B． C． D． (2)设a＝cos ，b＝sin ，c＝cos ，则(　　) A．a＞c＞b B．c＞b＞a C．c＞a＞b D．b＞c＞a (1)B　(2)A　[(1)f(x) ＝5cos， 由2kπ≤3x＋≤π＋2kπ(k∈Z)， 得－