（讲义）第7章 7.3 7.3.2 正弦型函数的性质与图像-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第三册(人教B版)

7.3.2　正弦型函数的性质与图像 1．能正确使用“五点法”“图像变换法”作出函数y＝Asin (ωx＋φ)的图像，并熟悉其变换过程．(重点、易错点) 2．会求函数y＝Asin(ωx＋φ)的周期、频率与振幅． 3．结合具体实例，了解y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义，并且了解y＝Asin(ωx＋φ)中的参数A，ω，φ对函数图像变化的影响以及它们的物理意义．(难点) 通过正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)图像和性质的学习，培养学生的直观想象和逻辑推理核心素养． 在物理中，简谐运动中单摆对平衡的位移y与时间x的关系、交流电的电流y与时间x的关系等都是形如y＝Asin(ωx＋φ)的函数．如图(1)所示是某次实验测得的交流电的电流y随时间x变化的图像． (1)　　　　　　　　(2) 将测得的图像放大，如图(2)所示，可以看出它和正弦曲线很相似．那么函数y＝Asin(ωx＋φ)与函数y＝sin x有什么关系呢？ 问题　1函数y＝Asinωx＋φ的周期、最值分别受哪些量的影响？ 2如何作出函数y＝Asinωx＋φ的图像？ [提示]　1在函数y＝Asinωx＋φ中，最值受A的影响，最大值为|A|，周期受ω的影响，T＝． 2法一：五点作图法．法二：图像的变换． 知识点1　正弦型函数 (1)形如y＝Asin(ωx＋φ)(其中A，ω，φ都是常数，且A≠0，ω≠0)的函数，通常称为正弦型函数． (2)函数y＝Asin(ωx＋φ)(其中A≠0，ω≠0，x∈R)的周期T＝，频率f ＝，初相为φ，值域为[－|A|，|A|]，|A|也称为振幅，|A|的大小反映了y＝Asin(ωx＋φ)的波动幅度的大小． 1．当φ为何值时，正弦型函数为奇函数？当φ为何值时，正弦型函数是偶函数？ [提示]　当φ＝kπ，k∈Z时，正弦型函数是奇函数； 当φ＝＋kπ，k∈Z时，正弦型函数是偶函数． 1．函数y＝4sin＋1的最小正周期为(　　) A．　　 　　B．π　　 　　C．2π　　 　　D．4π B　[T＝＝π．] 2．已知函数y＝3sin，则该函数的最小正周期、振幅、初相分别是______，______，______． 10π　3　　[由函数y＝3sin的解析式知，振幅为3，最小正周期为T＝＝10π，初相为．] 知识点2　A，ω，φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)图像的影响 (1)φ对函数y＝sin(x＋φ)图像的影响： (2)ω对函数y＝sin(ωx＋φ)图像的影响： (3)A对函数y＝Asin(ωx＋φ)图像的影响： (4)用“变换法”作图： y＝sin x的图像y＝sin(x＋φ)的图像y＝sin(ωx＋φ)的图像y＝Asin(ωx＋φ)的图像． 2．由y＝sin x的图像，通过怎样的变换可以得到y＝Asin(ωx＋φ)的图像？ [提示]　变化途径有两条： (1)y＝sin x相位变换,y＝sin(x＋φ)周期变换,y＝sin(ωx＋φ)振幅变换,y＝Asin(ωx＋φ)． (2)y＝sin x周期变换,y＝sin ωx相位变换,y＝sin(ωx＋φ)振幅变换,y＝Asin(ωx＋φ)． 3．要得到y＝sin的图像，只要将y＝sin x的图像(　　) A．向右平移个单位 B．向左平移个单位 C．向上平移个单位 D．向下平移个单位 B　[将y＝sin x的图像向左平移个单位可得到y＝sin的图像．] 类型1　正弦型函数的性质与图像 【例1】　用“五点法”作函数y＝2sin＋3的图像，并写出函数的定义域、值域、周期、频率、初相、最值、单调区间、对称轴方程． [解]　①列表： x π π π π x－ 0 π π 2π y 3 5 3 1 3 ②描点连线作出一周期的函数图像． ③把此图像左、右扩展即得y＝2sin＋3的图像． 由图像可知函数的定义域为R，值域为[1,5]， 周期为T＝＝2π，频率为f ＝＝，初相为φ＝－，最大值为5，最小值为1． 令2kπ－≤x－≤2kπ＋(k∈Z)，得原函数的增区间为(k∈Z)． 令2kπ＋≤x－≤2kπ＋(k∈Z)，得原函数的减区间为(k∈Z)． 令x－＝kπ＋(k∈Z)得原函数的对称轴方程为x＝kπ＋ π(k∈Z)． 1．用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的图像，应先令ωx＋φ分别为0，，π，，2π，然后解出自变量x的对应值，作出一周期内的图像． 2．求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，首先把x的系数化为正值，然后利用整体代换，把ωx＋φ代入相应不等式中，求出相应的变量x的范围． 1．已知函数y＝3sin．用五点作图法在如图坐标系中作出上述函数在的图像(请先列表，再描点，图中每个小矩形的宽度为)． [解]　因为x∈，所以2x－∈[0,2π]． 列表如下： x