（讲义）第7章 7.2 7.2.2 单位圆与三角函数线-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第三册(人教B版)

7.2.2　单位圆与三角函数线 1．了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切．(重点) 2．能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题．(难点) 1．通过三角函数线概念的学习，培养学生的数学抽象和直观想象核心素养． 2．借助三角函数线的应用，培养学生的逻辑推理及直观想象核心素养． 江南水乡，水车在清清的河流里悠悠转动，缓缓地把河流里的水倒进水渠，流向绿油油的大地，流向美丽的大自然，在水车转动的瞬间，同学们能想到些什么呢？ 问题　将图中的水车抽象出一个数学模型，建立平面直角坐标系(如图所示)，设水车的轮廓为单位圆．在平面直角坐标系中，任意角α的终边与单位圆交于点P，过点P作PM⊥x轴．过点A(1,0)作单位圆的切线，交α的终边或其反向延长线于点T，结合三角函数的定义，你能得到sin α，cos α，tan α与，，的关系吗？ [提示]　|sin α|＝||，|cos α|＝||，|tan α|＝||． 知识点1　单位圆与三角函数 (1)单位圆：在平面直角坐标系中，坐标满足x2＋y2＝1的点组成的集合． (2)三角函数与单位圆：角α的终边与单位圆相交于点P(x，y)，如图， 则sin α＝y，cos α＝x，tan α＝， 则角α的终边与单位圆的交点为P(cos α，sin α)． 1．角的终边与单位圆的交点的坐标是________． 　[由于角的终边与单位圆的交点横坐标是cos ＝－，纵坐标是sin ＝，所以角的终边与单位圆的交点的坐标是．] 知识点2　三角函数线 (1)作图：①角α的终边与单位圆交于P，过P作PM垂直于x轴，垂足为M． ②过A(1,0)作x轴的垂线，交角α的终边或其反向延长线于点T． (2)图示： (3)结论：向量，，分别称为角α的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线． (1)三角函数线的长度与三角函数的值有何关系？ (2)三角函数线的方向能表示三角函数的正负吗？请说明理由． [提示]　(1)三角函数线的长度等于三角函数值的绝对值． (2)能，当三角函数线与x轴(或y轴)正向同向时，所表示三角函数值为正的，与x轴(或y轴)正向反向时，所表示三角函数值为负的． (1)正切线始终在单位圆过A(1,0)的切线上． (2)三角函数线的特征 ①位置：三条三角函数线中有两条在以坐标原点为圆心的单位圆内，一条在以坐标原点为圆心的单位圆外； ②方向：正弦线由垂足指向α的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向x轴上的垂足；正切线由切点指向切线与α的终边(或其反向延长线)的交点； ③正负：三条三角函数线的正负可简记为“同向为正，反向为负”； ④书写：起点(比如点A)在前，终点(比如点B)在后，写为． 2．思考辨析(对的打“√”，错的打“×”) (1)角α的正弦线的长度等于sin α． (　　) (2)对任意角都能作出正弦线、余弦线和正切线． (　　) (3)余弦线和正切线的始点都是原点． (　　) [提示]　(1)×．角α的正弦线的长度等于|sin α|． (2)×．90°角不能作正切线． (3)×．正切线的始点是(1,0)． [答案]　(1)×　(2)×　(3)× 3．角和角有相同的(　　) A．正弦线　　 B．余弦线 C．正切线 D．不能确定 C　[因为＝π＋，所以角和角的终边互为反向延长线，即两个角的终边在同一条直线上，设为直线l， 因此，过点A(1,0)作单位圆的切线，与直线l有且只有一个交点T，可得tan ＝tan ，都等于，即两角有相同的正切线．] 类型1　三角函数线的作法及应用 【例1】　(1)角α(0<α<2π)的正、余弦线的长度相等，且正、余弦符号相异，那么α的值为(　　) A． B．　　　 C．　　　 D．或 (2)(对接教材P20例1改编)作出π的正弦线、余弦线和正切线． (1)D　[根据三角函数值的符号可知，当角α在二、四象限时，角α的正弦、余弦符号相反．又角α的正、余弦线的长度相等，0<α<2π，所以α＝或．] (2)[解]　在直角坐标系中作单位圆，如图所示，以Ox轴为始边作角π，角的终边与单位圆交于点P，作PM⊥Ox轴，垂足为M，由单位圆与Ox轴正方向的交点A作Ox轴的垂线，与OP的反向延长线交于T点，则sin π＝||，cosπ＝－||，tan π＝－||，即π的正弦线为，余弦线为，正切线为． 作三角函数线的四个步骤 (1)确定角的始边，单位圆与x轴交点A(1,0)． (2)确定角的终边与单位圆的交点P． (3)过P作x轴的垂线，垂足为M，过A作x轴的垂线，与角的终边(或其反向延长线)交于T． (4)得正弦线，余弦线，正切线． 1．(1)已知角α的正弦线的长度为单位长度，那么角α的终边(　　) A．在x轴上 B．在y轴上 C．在直线y＝x上 D．在直线y＝－x上