(教参)6.4 平面向量的应用-【精彩三年】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册课程探究与巩固教师用书word+课件PPT（人教A版，全国Ⅰ卷）

6．4.1　平面几何中的向量方法 1．能用向量方法解决简单的几何问题.2.体会向量在解决数学问题中的作用． (见学生用书P30)　　　　　　　 (请在括号中打“√”或“×”) (1)若B是线段AC的中点，则有＋＝2.(　√　) (2)若∥，则直线AB与CD平行．(　×　) (3)若∥，则A，B，C三点共线．(　√　) (4)若△ABC为直角三角形，则有·＝0.(　×　) (见学生用书P31)　　　　　　　 　　如图，在平行四边形ABCD中，已知DE＝AB，DF＝DB，求证：A，E，F三点共线． 证明：因为DE＝AB，DF＝DB， 所以＝，＝＝. 于是＝－＝－ ＝＋＝＝－，因此∥， 又因为，有公共点F，所以A，E，F三点共线． [题后感悟] 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲” (1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题． (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系． (3)把运算结果“翻译”成几何关系． 　　已知正方形ABCD，E，F分别是CD，AD的中点，BE，CF交于点P，连接AP.用向量法证明： (1)BE⊥CF. (2)AP＝AB. 证明：如图，建立平面直角坐标系xOy，其中A为原点，设AB＝2， 则A(0，0)，B(2，0)，C(2，2)，E(1，2)， F(0，1). (1)∵＝－＝(－1，2)， ＝－＝(－2，－1)， ∴·＝(－1)×(－2)＋2×(－1)＝0， ∴⊥，即BE⊥CF. (2)设P(x，y)，则＝(x，y－1)，＝(x－2，y)， 由(1)知＝(－2，－1)，＝(－1，2)， ∵∥，∴－x＝－2(y－1)，即x＝2y－2.　① 同理，由∥，得y＝－2x＋4.　② 由①②解得即P， ∴2＝＋＝4＝2， ∴||＝||，即AP＝AB. 活学活用 如图，在正方形ABCD中，P为对角线AC上任一点，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为E，F，连接DP，EF，求证：DP⊥EF. 证明：如图，以A为原点，AB，AD所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系． 设正方形ABCD的边长为1， AP＝λ(0<λ<)， 则D(0，1)，P，E，F. ∴＝，＝. ∴·＝λ－λ2＋λ2－λ＝0， ∴⊥，即DP⊥EF. [题后感悟] 用向量方法分析问题可从两个角度思考：一是用平面向量的基底，二是建立平面直角坐标系． 类型三 利用平面向量求几何中的长度问题 　例3在平行四边形ABCD中，AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长． 解：设＝a，＝b，则＝a－b，＝a＋b， 而||＝|a－b|＝＝＝＝2， ∴5－2a·b＝4，∴a·b＝. 又||2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2 ＝1＋4＋2a·b＝6， ∴||＝，即AC＝. 活学活用 如图所示，在矩形ABCD中，AB＝4，E为AB的中点，且⊥，则||等于(　B　) 　　　　　　 　　　　　　　　　　 A． B．2 C．3 D．2 【解析】 以A为坐标原点，AB所在直线为x 轴，AD所在直线为y轴，建立直角坐标系， 如图．设||＝a(a>0)，则A(0，0)，C(4，a)，D(0，a)，E(2，0)，所以＝(2，－a)，＝(4，a).因为⊥，所以·＝0，所以2×4＋(－a)·a＝0，即a2＝8.所以a＝2，所以＝(2，－2)，所以||＝＝2. [题后感悟] 用向量法求长度的策略 (1)根据图形特点选择基底，利用向量的数量积转化，用公式|a|2＝a2求解．(2)建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式．若a＝(x，y)，则|a|＝. 类型四利用平面向量求几何中的角度问题 例4如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝3，点D在线段BC上，且BD＝DC.求： (1)AD的长． (2)∠DAC的大小． 解：(1)设＝a，＝b，则＝＋ ＝＋＝＋(－) ＝＋＝a＋b. 所以||2＝2＝ ＝a2＋2×a·b＋b2 ＝×9＋2××3×3×cos 120°＋×9＝3. 所以AD＝. (2)设∠DAC＝θ(0°<θ<120°)， 则θ为与的夹角， 所以cos θ＝＝ ＝＝＝0. 所以θ＝90°，即∠DAC＝90°. 活学活用 正方形OABC的边长为1，点D，E分别为AB，BC的中点，则cos ∠DOE＝____． 【解析】 以O为原点，以OA，OC所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如图所示． 由题意知，＝，＝， 故cos ∠DOE＝＝＝. [题后感悟] 用向量法求角度的策略 (1)将要求的角转化为两向量的夹角，再使用基底法或坐标法求出该夹角的余弦值，然后求出该夹角，再转化为实际问题中的角即可． (2)要注意，两向量的夹角和要求角的关系． 当 堂 自 评