9.5直线与平面垂直的判定与性质（导学案）-2024届高三中职数学一轮复习

直线与平面垂直的判定与性质 【学习目标】 1、 会用直线与平面垂直的定义； 2、 会求直线与平面垂直的判定定理及其应用； 3.会求直线与平面所成的角； 4、会求线线垂直的判定 【课前案】 1、（1）判断线线垂直的方法：所成的角是直角，两直线垂直；垂直于平行线中的一条，必垂直于另一条。 三垂线定理：_______________________________________________ ___________________________________________________________ 三垂线定理的逆定理：_______________________________________ ___________________________________________________________ 2、直线和平面垂直 直线和平面垂直的定义：直线与平面的 直线都垂直，就说直线. 直线和平面垂直的判定定理和性质定理 图形语言 文字语言 符号语言 判定定理 如果一条直线和一个平面内的 都垂直，那么该直线与此平面垂直. 性质定理 如果两条直线同垂直于一个平面内，，那么这两条直线 . ∥ 3、线面垂直判定的其它方法：____________________________________________________ 4、直线与平面所成角的定义 (1)直线与平面斜交时，__________________________________________________________ (2)直线与平面垂直时，__________________________________________________________ (3)直线和平面平行或在平面内时，________________________________________________ 5、斜线与平面所成的角θ的取值范围是____；直线与平面所成的角θ的取值范围是______ 6、射影定理：__________________________________________________________________ 【随堂训练】 1、若直线ａ与平面α不垂直，那么平面α内有多少条直线与直线ａ垂直 ( ) A.没有 B.一条 C.无数条 D.任意一条 2、若线段AB的两个端点到平面α的距离相等，则AB与α的关系是 ( ) A.平行 B.相交 C.AB在α内 D.以上均不正确 3、空间四边形四边相等，则它们各边中点的连线所组成的几何图形是 ( ) A.梯形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 4、已知点A、B和平面α的距离分别是40和70，P为AB上一点，且AP∶PB＝3∶7，则P到平面α的距离是 ( ) A.49 B.9 C.49或7 D.7 【课中案】 线线垂直问题 例1、已知：空间四边形ABCD，AB＝AC，DB＝DC，求证：BC⊥AD 【随堂训练】 1．如图所示，已知PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上任意一点，过A作AE⊥PC，求证：AE⊥平面PBC. [方法总结] 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直(线线垂直⇒线面垂直)．即：a⊂α，b⊂α，l⊥a，l⊥b，a∩b＝P⇒l⊥α. 知识点2　求直线与平面所成的角 [例2]　(2017年高考题)如图所示，已知直三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都相等，D，E分别是棱AB，A1C1的中点，如图所示． [举一反三] 2．如图所示，在正三棱锥S－ABC中，侧棱与底面边长都相等，求SA与平面ABC所成角的余弦值． [方法总结] 求直线和平面所成角的步骤：①寻找过斜线上一点与平面垂直的直线；②连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角；③把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角． 【当堂达标】 1．“直线l∥平面α”是“直线l在平面α外”的(　　) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2、下列四种说法： ①一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这条直线和这个平面垂直；②经过一点和一条已知直线垂直的直线都在同一平面内；③一个平面内不可能有直线与这个平面的一条斜线垂直；④如果直线a∥平面α，直线b⊥a，则b⊥平面α. 不正确的是(　　) A．② B．①③C．①②③ D．①③④ 3、已知：在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，点D是AB的中点，求证：(1)AC⊥BC1 (2)求证：AC1∥平面CD