（讲义）第7章 7.3 7.3.2 离散型随机变量的方差-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册(人教A版)

7.3.2　离散型随机变量的方差 学习任务 1．理解离散型随机变量的方差及标准差的概念．(数学抽象) 2．能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题．(数学运算、数据分析) 3．掌握方差的性质以及两点分布方差的求法，会利用公式求它们的方差．(数学运算) 甲、乙两个工人生产同一产品，在相同的条件下，他们生产100件产品所出的次品数分别用X1，X2表示，X1，X2的分布列如下： 次品数X1 0 1 2 3 P 0.7 0.2 0.06 0.04 次品数X2 0 1 2 3 P 0.8 0.06 0.04 0.10 那么，(1)由E(X1)和E(X2)的值能比较两名工人生产的产品质量吗？ (2)利用什么指标可以比较加工质量？ 知识点1　离散型随机变量的方差 (1)离散型随机变量的方差、标准差 设离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 考虑X所有可能取值xi与E(X)的偏差的平方(x1－E(X))2，(x2－E(X))2，…，(xn－E(X))2．因为X取每个值的概率不尽相同，所以我们用偏差平方关于取值概率的加权平均，来度量随机变量X取值与其均值E(X)的偏离程度，我们称D(X)＝＝ 为随机变量X的方差，有时也记为Var(X)，并称为随机变量X的标准差，记为σ(X)． (2)离散型随机变量方差和标准差的意义 随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度．方差或标准差越小，随机变量的取值越集中；方差或标准差越大，随机变量的取值越分散． (1)方差也可以用公式D(X)＝ (2)随机变量的方差是非负常数． 随机变量的方差与样本方差有什么关系？ [提示]　随机变量的方差是总体的方差，它是一个常数，样本的方差则是随机变量，是随样本的变化而变化的．对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本的方差越来越接近于总体的方差． 知识点2　离散型随机变量方差的线性运算性质 设a，b为常数，则D(aX＋b)＝a2D(X)． 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)离散型随机变量ξ的方差D(ξ)反映了ξ取值的平均水平． (　　) (2)离散型随机变量ξ的方差D(ξ)反映了ξ取值的波动水平． (　　) (3)离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定． (　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)× 2．已知随机变量ξ，D(ξ)＝，则D(2ξ＋1)＝________． 1　[D(2ξ＋1)＝4D(ξ)＝4×＝1．] 3．已知随机变量X，D(X)＝，则X的标准差σ(X)＝________． 　[σ(X)＝．] 类型1　求离散型随机变量的方差 【例1】　(源自北师大版教材)随机抛掷一枚均匀的骰子，求掷出的点数X的方差和标准差(结果精确到0.01)． [解]　掷出点数X的分布列如下表： X 1 2 3 4 5 6 P E(X)＝1×＝3.5； D(X)＝(1－3.5)2×＋(2－3.5)2×＋(3－3.5)2×＋(4－3.5)2×＋(5－3.5)2×＋(6－3.5)2×≈2.92； σ(X)＝≈1.71． 　求离散型随机变量X的方差的步骤 (1)理解X的意义，写出X的所有可能的取值． (2)求X取每一个值的概率． (3)写出随机变量X的分布列． (4)由均值、方差公式求E(X)，D(X)． [跟进训练] 1．有10张卡片，其中8张标有数字2，2张标有数字5，从中随机地抽取3张卡片，设3张卡片数字之和为ξ，求D(ξ)． [解]　由题意知ξ的可能取值为6，9，12． ξ＝6表示取出的3张卡片上均标有2， 则P(ξ＝6)＝； ξ＝9表示取出的3张卡片上两张标有2，一张标有5， 则P(ξ＝9)＝； ξ＝12表示取出的3张卡片上一张标有2，两张标有5， 则P(ξ＝12)＝． ∴ξ的分布列为 ξ 6 9 12 P ∴E(ξ)＝6×＝7.8， ∴D(ξ)＝(6－7.8)2×＋(9－7.8)2×＋(12－7.8)2×＝3.36． 类型2　方差的性质及其应用 【例2】　已知η的分布列为 η 0 10 20 50 60 P (1)求η的方差及标准差； (2)设Y＝2η－E(η)，求D(Y)． [解]　(1)∵E(η)＝0×＝16， ∴D(η)＝(0－16)2×＋(10－16)2×＋(20－16)2×＋(50－16)2×＋(60－16)2×＝384， ∴σ(η)＝． (2)∵Y＝2η－E(η)， ∴D(Y)＝D(2η－16)＝22D(η)＝4×384＝1536． [母题探究] (变条件)将本例的分布列改为 X 1