（讲义）第7章 7.3 7.3.1 离散型随机变量的均值-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册(人教A版)

7.3　离散型随机变量的数字特征 7.3.1　离散型随机变量的均值 学习任务 1．理解离散型随机变量的均值的意义与性质，会根据离散型随机变量的分布列求出均值．(数学抽象、数学运算) 2．掌握两点分布的均值．(数学运算) 3．会用离散型随机变量的均值解决一些实际问题．(数学建模、数据分析) 已知在10件产品中有2件不合格品，从这10件产品中任取3件，用X表示取得产品中的不合格品的件数．我们可求得X的分布列如下表： X 0 1 2 P 现在我们关心的是，取3件该产品时，平均会取到几件不合格品？那么，怎样的一个数能够“代表”这个随机变量取值的平均水平呢？ 知识点1　离散型随机变量的均值 (1)定义：一般地，若离散型随机变量X的分布列如表所示， X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝ 为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望． (2)意义：它反映了离散型随机变量取值的平均水平． (3)性质：如果X和Y都是随机变量，且Y＝aX＋b(a≠0)，则E(Y)＝E(aX＋b)＝aE(X)＋b． 均值是随机变量的一个重要特征数，反映或刻画的是随机变量取值的平均水平，它是概率意义下的平均值，不同于相应数值的平均数． (1)离散型随机变量的均值与分布列有什么区别？ (2)随机变量的均值与样本平均值有什么关系？ [提示]　(1)离散型随机变量的分布列和均值虽然都是从整体和全局上刻画随机变量的，但二者有所不同．分布列只给了随机变量取所有可能值的概率，而均值却反映了随机变量取值的平均水平． (2)随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取，而样本的平均值是一个随机变量，它随样本抽取的不同而变化．对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本的平均值越来越接近于总体的均值． 知识点2　两点分布的均值 若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝p． 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)随机变量X的数学期望E(X)是个变量，其随X的变化而变化． (　　) (2)随机变量的均值反映样本的平均水平． (　　) (3)若随机变量X的数学期望E(X)＝2，则E(2X)＝4． (　　) (4)随机变量X的均值E(X)＝． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．已知X的分布列为 X －1 0 1 2 P 则X的均值为________． 　[E(X)＝－1×．] 3．设X的分布列为 X 1 2 3 4 P Y＝2X＋5，则E(Y)＝________． 　[E(X)＝1×． 所以E(Y)＝E(2X＋5)＝2E(X)＋5＝2×．] 类型1　求离散型随机变量的均值 【例1】　(源自北师大版教材)一个袋子里装有除颜色外完全相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出2个，则取出的红球个数的均值是多少？ [解]　设X表示取出红球的个数，则X的取值为0，1，2． P(X＝0)＝； P(X＝1)＝； P(X＝2)＝． 故X的分布列为 X 0 1 2 P 根据均值的定义，可知 E(X)＝0×． 　求离散型随机变量X的均值的步骤 (1)理解X的实际意义，并写出X的全部取值． (2)求出X取每个值的概率． (3)写出X的分布列(有时也可省略)． (4)利用定义公式E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn求出均值． 其中第(1)、(2)两条是解答此类题目的关键，在求解过程中要注重运用概率的相关知识． [跟进训练] 1．端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个． (1)求三种粽子各取到1个的概率； (2)设X表示取到豆沙粽的个数，求X的分布列与均值． [解]　(1)令A表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的概率计算公式有P(A)＝． (2)X的所有可能取值为0，1，2， 且P(X＝0)＝，P(X＝1)＝， P(X＝2)＝， 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 所以E(X)＝0×． 类型2　离散型随机变量均值的性质 【例2】　已知随机变量X的分布列为 X －2 －1 0 1 2 P m 若Y＝－2X，则E(Y)＝________． 　[由随机变量分布列的性质，得＝1，解得m＝， 故E(X)＝－2×＋(－1)×． 由Y＝－2X，得E(Y)＝－2E(X)＝－2×．] [母题探究] 1．本例条件不变，若Y＝2X－3，则E(Y)＝________． －　[由本例知E(X)＝－， 则E(Y)＝E(2X－3)＝2E(X)－3＝2×．