（讲义）第6章 6.1 第1课时 分类加法计数原理与分步乘法计数原理-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册(人教A版)

6.1　分类加法计数原理与分步乘法计数原理 第1课时　分类加法计数原理与分步乘法计数原理 学习任务 1．理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理．(数学抽象) 2．会用这两个原理分析和解决一些简单的实际计数问题．(逻辑推理) 在数学学习和日常生活中，我们经常会遇到类似“共有多少种情况”的计数问题．例如： (1)一个由3个元素组成的集合，共有多少个不同的子集？ (2)由3个数字组成的密码锁，如图所示，如果忘记了密码，最多要试多少次才能打开密码锁？ 知识点1　分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法． 定义中，每一类方案中的每一种方法都能独立完成这件事． 1．若完成一件事情有n类不同的方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法……在第n类方案中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？ [提示]　共有m1＋m2＋…＋mn种不同的方法． 知识点2　分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法． (1)完成这件事有多个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事，缺一不可； (2)每一步都有若干种方法． 2．分类加法计数原理每一类中的方法与分步乘法计数原理每一步中的方法有何区别？ [提示]　分类加法计数原理每一类中的方法可以完成这件事，而分步乘法计数原理中每一步的方法不能独立完成这件事． 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同． (　　) (2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能完成这件事． (　　) (3)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的． (　　) (4)在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都能完成这件事． (　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)√　(4)× [提示]　(1)在分类加法计数原理中，分类标准是统一的，两类不同方案中的方法是不能相同的． (2)在分类加法计数原理中，是把能完成这件事的所有方法按某一标准分类的，故每类方案中的每种方法都能完成这件事． (3)因为在分步乘法计数原理中的每一步都有多种方法，而每种方法各不相同． (4)因为在分步乘法计数原理中，要完成这件事需分两步，而每步都不能完成这件事，只有各步都完成了，这件事才算完成． 2．从A地到B地，可乘汽车、火车、轮船三种交通工具，如果一天内汽车发3次，火车发4次，轮船发2次，那么一天内乘坐这三种交通工具的不同走法数为________种． 9　[分三类：第一类，乘汽车，从3次中选1次有3种走法；第二类，乘火车，从4次中选1次有4种走法；第三类，乘轮船，从2次中选1次有2种走法．所以，共有3＋4＋2＝9(种)不同的走法．] 3．现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数为________种． 12　[先从4件上衣中任取一件共4种选法，再从3条长裤中任选一条共3种选法，由分步乘法计数原理，上衣与长裤配成一套共4×3＝12(种)不同配法．] 4．如图，从A→B→C有________种不同的走法；从A→C有________种不同的走法． 4　6　[A→B→C分两步： 第一步，A→B，有2种走法； 第二步，B→C，有2种走法． 所以A→B→C共有2×2＝4(种)走法． A→C分两类： 第一类，A→B→C共有4种走法； 第二类，A→C(不经过B)有2种走法． 所以A→C共有4＋2＝6(种)走法．] 类型1　分类加法计数原理 【例1】　(源自湘教版教材)某市的有线电视可以接收中央台12个频道、本地台10个频道和其他省市46个频道的节目． (1)当这些频道播放的节目互不相同时，一台电视机共可以选看多少个不同的节目？ (2)如果有3个频道正在转播同一场球赛，其余频道正在播放互不相同的节目，一台电视机共可以选看多少个不同的节目？ [解]　(1)当所有频道播放的节目互不相同时，一台电视机选看的节目可分为3类： 第一类，选看中央台频道的节目，有12个不同的节目； 第二类，选看本地台频道的节目，有10个不同的节目； 第三类，选看其他省市频道的节目，有46个不同的节目． 根据分类加法计数原理，一台电视机共可以选看12＋10＋46＝68(个)不同的节目． (2)因为有3个频道正在转播同一场球赛，即这3个频道转播的节目只有1个，而其余频道(共有(12＋10＋46－3)个)正在播放互不相同的节目，所以，一台电视机共可以选看1＋(12＋10＋46－3)＝66(个)不同的节目