（讲义）第6章 6.1 第2课时 两个计数原理的综合应用-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册(人教A版)

第2课时　两个计数原理的综合应用 学习 任务 1．进一步理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别．(数学抽象) 2．会正确应用这两个计数原理计数．(数学运算) 类型1　组数问题 【例1】　有0，1，2，3，4五个数字． (1)可以排出多少个三位数字的电话号码？ (2)可以排成多少个三位数？ (3)可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数？ [解]　(1)三位数字的电话号码，首位可以是0，数字也可以重复，每个位置都有5种排法，共有5×5×5＝53＝125(种)． (2)三位数的首位不能为0，但可以有重复数字，首先考虑首位的排法，除0外共有4种方法，第二、三位可以排0，因此，共有4×5×5＝100(种)． (3)被2整除的数即偶数，末位数字可取0，2，4，因此，可以分两类，一类是末位数字是0，则有4×3＝12(种)排法；另一类是末位数字不是0，则末位有2种排法，即2或4，再排首位，因0不能在首位，所以有3种排法，十位有3种排法，因此有2×3×3＝18(种)排法．因而有12＋18＝30(种)排法．即可以排成30个能被2整除的无重复数字的三位数． [母题探究] 1．(变设问)由本例中的五个数字可以组成多少个无重复数字的四位奇数？ [解]　完成“组成无重复数字的四位奇数”这件事，可以分四步：第一步定个位，只能从1，3中任取一个，有2种方法；第二步定首位，把1，2，3，4中除去用过的一个还有3个可任取一个，有3种方法；第三步、第四步把剩下的包括0在内的还有3个数字，先排百位有3种方法，再排十位有2种方法．由分步乘法计数原理可知共有2×3×3×2＝36(个)． 2．(变设问)在本例条件下，能组成多少个能被3整除的无重复数字的四位数？ [解]　一个四位数能被3整除，必须各位上数字之和能被3整除，故组成四位数的四个数字只能是0，1，2，3或0，2，3，4两类．所以满足题设的四位数共有3×3×2×1＋3×3×2×1＝36(个)． 　常见的组数问题及解题原则 (1)常见的组数问题：奇数、偶数、整除数、各数位上的和或数字间满足某种特殊关系等． (2)常用的解题原则：首先明确题目条件对数字的要求，针对这一要求通过分类、分步进行组数；其次注意特殊数字对各数位上数字的要求，如偶数的个位数字为偶数、两位及其以上的数首位数字不能是0、被3整除的数各位数上的数字之和能被3整除等；最后先分类再分步从特殊数字或特殊位置进行组数． [跟进训练] 1．从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为(　　) A．24　　　　B．18　　　　C．12　　　　D．6 B　[由于题目要求是奇数，那么对于此三位数可以分成两种情况：奇偶奇，偶奇奇． 如果是第一种奇偶奇的情况，可以从个位开始分析(3种情况)，之后十位(2种情况)，最后百位(2种情况)，共3×2×2＝12(种)； 如果是第二种情况偶奇奇：个位(3种情况)，十位(2种情况)，百位(不能是0，故1种情况)，共3×2×1＝6(种)． 因此总共有12＋6＝18(种)情况．故选B．] 2．用1，2，3，4，5可以排成多少个数字不重复的三位数？ [解]　排成一个三位数，可以分为三步： 第一步，确定百位上的数字，共有5种方法； 第二步，确定十位上的数字，因为数字不能重复，所以不能是百位上已有的数字，共有4种方法； 第三步，确定个位上的数字，共有3种方法． 依据分步乘法计数原理，可以排成数字不重复的三位数的个数为5×4×3＝60． 类型2　抽取(分配)问题 【例2】　(1)有4位老师在同一年级的4个班级中各教一个班的数学，在数学考试时，要求每位老师均不在本班监考，则安排监考的方法种数是(　　) A．11　　　B．10　　　C．9　　　D．8 (2)从6名志愿者中选4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙两名志愿者不能从事翻译工作，则选派方案共有(　　) A．280种　　　B．240种　　　C．180种　　　D．96种 (1)C　(2)B　[(1)设四个班级分别是A，B，C，D，它们的老师分别是a，b，c，d． 法一：设a监考的是B，则剩下的三个老师分别监考剩下的三个班级，共有3种不同的方法；同理当a监考C，D时，剩下的三个老师分别监考剩下的三个班级也各有3种不同的方法．这样，由分类加法计数原理知共有3＋3＋3＝9(种)不同的安排方法． 法二：让a先选，可从B，C，D中选一个，即有3种选法．若选的是B，则b从剩下的3个班级中任选一个，也有3种选法，剩下的两个老师都只有一种选法，根据分步乘法计数原理知，共有3×3×1×1＝9(种)不同安排方法． (2)由于甲、乙不能从事翻译工作，因此翻译工作从余下的4名志愿者中选1人，有4种选法．后面三项工作的选法有5×4×3