（讲义）第4章 4.4 数学归纳法-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册(人教A版)

4.4*　数学归纳法 学习任务 1．借助教材实例了解数学归纳法的原理．(数学抽象) 2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．(逻辑推理) 3．能归纳猜想，利用数学归纳法证明与正整数有关的数学问题．(数学运算、逻辑推理) 我们中国过去有个习俗，子女从父亲的姓氏，如父亲姓王，其子女都姓王．假设我们知道一个男子姓王，假设他每一代后代都有男子，而且严格按照我国过去的习俗，那么他的儿子姓什么？孙子呢？玄孙呢？……如果他有32代孙，你能确定他的32代孙的姓吗？如果他有无限代孙呢？ 为了保证各代孙辈都姓王，必须严格按照中国过去的习俗，否则无法递推下去，也就是说要保证第n代孙姓王能推出第n＋1代孙也姓王，当然还要求第1个人必须姓王了． 思考：通过这个例子，你能得到什么启示呢？ 知识点1　数学归纳法 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： (1)归纳奠基：证明当n＝n0(n0∈N*)时命题成立； (2)归纳递推：以“当n＝k(k∈N*，k≥n0)时命题成立”为条件，推出“当n＝k＋1时命题也成立”． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．这种证明方法称为数学归纳法． 数学归纳法的第一步n0的初始值是否一定为1? [提示]　不一定．如证明n边形的内角和为(n－2)·180°，第一个值n0＝3. 知识点2　数学归纳法的框图表示 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)用数学归纳法证题时可以只证明归纳递推即可． (　　) (2)数学归纳法证明3n≥n2(n≥3，n∈N*)，第一步验证n＝3. (　　) (3)设Sk＝＋…＋，则Sk＋1＝＋…＋.(　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)× [提示]　(1)数学归纳法两个步骤缺一不可．(3)中，Sk＋1＝＋…＋. 2．用数学归纳法证明1＋＋…＋<n(n∈N*，n>1)时，第一步应验证不等式(　　) A．1＋<2 B．1＋<2 C．1＋<3 D．1＋<3 B　[由题知，当n＝2时，不等式为1＋<2，故选B.] 类型1　用数学归纳法证明等式 【例1】　用数学归纳法证明：1＋3×2＋5×22＋…＋(2n－1)×2n-1＝2n(2n－3)＋3(n∈N*)． [证明]　(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝2×(2－3)＋3＝1，左边＝右边，所以等式成立． (2)假设当n＝k(k∈N*)时，等式成立， 即1＋3×2＋5×22＋…＋(2k－1)×2k-1＝2k(2k－3)＋3. 则当n＝k＋1时，1＋3×2＋5×22＋…＋(2k－1)×2k-1＋(2k＋1)×2k ＝2k(2k－3)＋3＋(2k＋1)×2k ＝2k(4k－2)＋3＝2k+1[2(k＋1)－3]＋3， 即当n＝k＋1时，等式也成立． 由(1)(2)知，等式对任何n∈N*都成立． 反思领悟　用数学归纳法证明恒等式时应关注的三点 (1)弄清n取第一个值n0时等式两端项的情况； (2)弄清从n＝k到n＝k＋1，等式两端增加了哪些项，减少了哪些项； (3)证明n＝k＋1时结论也成立，要设法将待证式与归纳假设建立联系，并朝n＝k＋1证明目标的表达式变形． [跟进训练] 1．用数学归纳法证明： ＋…＋＝. [证明]　(1)当n＝1时，＝成立． (2)假设当n＝k时等式成立即有＋…＋＝，那么当n＝k＋1时，＋…＋＝＝， 即当n＝k＋1时等式也成立． 由(1)(2)可得对于任意的n∈N＋等式都成立． 类型2　用数学归纳法证明不等式 【例2】　用数学归纳法证明：1＋≤1＋＋…＋＋n(n∈N*)． [思路引导]　按照数学归纳法的步骤证明，由n＝k到n＝k＋1的推证过程可应用放缩技巧，使问题简单化． [证明]　(1)当n＝1时， ≤1＋，命题成立． (2)假设当n＝k(k∈N*)时，命题成立， 即1＋ ≤ 1＋ ＋ ＋… ＋ ≤ ＋k， 则当n＝k＋1时， 1＋ ＋ ＋… ＋ ＋ ＋ ＋… ＋ >1＋ ＋2k· ＝1＋ . 又1＋ ＋ ＋… ＋ ＋ ＋ ＋… ＋ < ＋k＋2k· ＝ ＋(k＋1)， 即当n＝k＋1时，命题成立． 由(1)和(2)可知，命题对所有的n∈N*都成立． 反思领悟　1.用数学归纳法证明不等式的关键点 用数学归纳法证明不等式往往比证明恒等式难度更大一些，方法更灵活些，用数学归纳法证明的第二步，即已知f(k)＞g(k)，求证f(k＋1)＞g(k＋1)时应注意灵活运用证明不等式的一般方法(比较法、分析法、综合法)．具体证明过程中要注意以下两点： (1)先凑假设，作等价变换； (2)瞄准当n＝k＋1时的递推目标，有目的地放缩、分析直到凑出结论． 2．常用的几点放缩技巧 (1)＜n＜； (2)＜＜(n∈N*，n＞1)； (3)＞＝2()； (4)＜＝2()(k∈N*，k＞1).