（讲义）第4章 4.3 4.3.2 第1课时 等比数列的前n项和公式-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册(人教A版)

4.3.2　等比数列的前n项和公式 第1课时　等比数列的前n项和公式 学习任务 1．掌握等比数列的前n项和公式及其应用．(数学运算) 2．会用错位相减法求数列的和．(数学运算、逻辑推理) 3．能运用等比数列的前n项和公式解决一些简单的实际问题．(数学运算、数学建模) 如今手机越来越普遍，大街小巷都可看到手机的风采，用手机发送信息传达情谊也成为年轻人的时尚．一条温馨的信息会带给我们无穷的温暖．一条信息，一种关怀，设想一人收到某信息后用10分钟将它传给两个人，这两个人又用10分钟将此信息各传给未知此信息的另外两个人，如此继续下去，一天时间这种关怀可传达给多少人？ 知识点1　等比数列的前n项和公式 如何选择使用两个求和公式？ [提示]　已知首项a1和公比q(q≠1)，项数n，可以使用Sn＝，已知首尾两项a1，an和q(q≠1)，可以使用Sn＝. 当q≠1，Sn＝＝·qn，所以Sn＝A－A·qn的结构形式． 知识点2　错位相减法 (1)推导等比数列前n项和的方法叫错位相减法． (2)该方法一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n项和，即若{bn}是公差d≠0的等差数列，{cn}是公比q≠1的等比数列，求数列{bn ·cn}的前n项和Sn时，可以用这种方法． 错位相减法求和适用于an＝(kn＋b)·qn结构形式． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)只有等比数列才能用错位相减法求前n项和． (　　) (2)求数列{n·3n}的前n项和可用错位相减法． (　　) [答案]　(1)×　(2)√ 2．若等比数列{an}中，a1＝1，S3＝3，则公比q＝________． 1或－2　[若q＝1时，S3＝3a1＝3符合． 若q≠1时，S3＝1＋q＋q2＝3. 解得q＝－2. 故公比q的值为1或－2.] 类型1　等比数列基本量的运算 【例1】　在等比数列{an}中， (1)S2＝30，S3＝155，求Sn； (2)a1＋a3＝10，a4＋a6＝，求S5； (3)a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求q. [解]　(1)由题意知 解得或 从而Sn＝×5n+1－或 Sn＝. (2)法一：由题意知 解得从而S5＝＝. 法二：由(a1＋a3)q3＝a4＋a6， 得q3＝，从而q＝. 又a1＋a3＝a1(1＋q2)＝10， 所以a1＝8，从而S5＝＝. (3)因为a2an－1＝a1an＝128， 所以a1，an是方程x2－66x＋128＝0的两根． 从而或 又Sn＝＝126，所以q为2或. 反思领悟　(1)“知三求二”：在等比数列 {an}的五个量a1，q，an，n，Sn中，已知其中的三个量，通过列方程组，就能求出另外两个量，这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用． (2)注意：在解决与前n项和有关的问题时，首先要对公比q＝1或q≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论． [跟进训练] 1．(1)在正项等比数列{an}中，a2＝4，a6＝64，Sn＝510，则n＝(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 (2)(2022·全国乙卷)已知等比数列{an}的前3项和为168，a2－a5＝42，则a6＝(　　) A．14 B．12 C．6 D．3 (1)C　(2)D　[(1)由题意知q4＝＝16， 则q＝2，a1＝2， ∴510＝， 解得n＝8. 故选C. (2)设等比数列的公比为q，q≠0， 若q＝1，则a2－a5＝0，与题意矛盾， 所以q≠1， 则，解得 所以a6＝a1q5＝3. 故选D.] 类型2　错位相减法 【例2】　设是等差数列，是等比数列，公比大于0，已知a1＝b1＝2，b2＝a2，b3＝a2＋4. (1)求和的通项公式； (2)求数列的前n项和Sn. [思路引导]　(1)可用基本运算，解方程组的方法求出通项公式； (2)该数列的通项公式是由一个等差数列和一个等比数列的各项相乘得到的数列，所以采用错位相减法求和． [解]　(1)设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，则q>0. 由题意，得解得 故an＝2＋2＝2n，bn＝2·2n-1＝2n. (2)令cn＝anbn＝n·2n， 所以Sn＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋(n－2)×2n-2＋(n－1)×2n-1＋n·2n， 2Sn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n－2)×2n-1＋(n－1)×2n＋n·2n+1， 两式相减得：－Sn＝1×21＋22＋23＋24＋…＋2n-1＋2n－n·2n+1＝－n·2n+1＝(1－n)·2n+1－2，所以Sn＝(n－1)·2n+1＋2. [母题探究] 1．(变条件)把本例(2)中“”改为“”，求该数列前n项和Sn′. [解]　令cn＝＝＝， ∴Sn′＝＋…＋， ① ∴Sn′＝＋…＋，