（讲义）第4章 4.3 4.3.1 第2课时 等比数列的性质及应用-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册(人教A版)

第2课时　等比数列的性质及应用 学习任务 1．能根据等比数列的定义推出等比数列的常用性质，理解等比数列与项有关的性质．(数学运算) 2．能灵活运用等比数列的性质简化运算，解决简单的数列问题．(数学运算、逻辑推理) 在等差数列{an}中，存在很多的性质，如 (1)若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)． (2)若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap. (3)若l1，l2，l3，l4，…，ln成等差数列，则也成等差数列． 那么如果该数列为等比数列，能否求出等比数列的相类似的性质呢？ 知识点1　推广的等比数列的通项公式 {an}是等比数列，首项为a1，公比为q，则an＝a1qn-1，an＝am·qn－m(m，n∈N*)． 知识点2　“子数列”性质 对于无穷等比数列{an}，若将其前k项去掉，剩余各项仍为等比数列，首项为ak＋1，公比为q；若取出所有的k的倍数项，组成的数列仍为等比数列，首项为ak，公比为qk． 知识点3　等比数列项的运算性质 在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am·an＝ap·aq． (1)特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，am·an＝． (2)对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1·an＝a2·an－1＝…＝ak·an－k＋1＝…. 将公比为q的等比数列{an}依次取相邻两项的乘积组成新的数列a1a2，a2a3，a3a4，…，则此数列是等比数列吗？其公比是什么？ [提示]　由于＝·＝q2，n≥2且n∈N*，所以{anan＋1}是以q2为公比的等比数列． 1．对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是(　　) A．a1，a3，a9成等比数列 B．a2，a3，a6成等比数列 C．a2，a4，a8成等比数列 D．a3，a6，a9成等比数列 D　[D中，3，6，9为连续3的倍数，所以a3，a6，a9成等比数列．] 2．在等比数列{an}中，a3＝8，a6＝64，则公比q是________． 2　[由a6＝a3q3得q3＝＝8，∴q＝2.] 3．在等比数列{an}中，已知a7·a12＝5，则a8·a9·a10·a11＝________． 25　[在等比数列{an}中，7＋12＝8＋11＝＝a8a11＝a9a10.∴原式＝(a7a12)2＝25.] 类型1　灵活设项求解等比数列 【例1】　有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，第一个数与第四个数的和为21，中间两个数的和为18，求这四个数． [解]　法一：设前三个数分别为，a，aq(q≠0)，则第四个数为2aq－a. 由题意得，解得q＝2或q＝. 当q＝2时，a＝6，这四个数为3，6，12，18； 当q＝时，a＝，这四个数为. 法二：设后三个数分别为a－d，a，a＋d，则第一个数为，因此这四个数为，a－d，a，a＋d. 由题意得 解得或 故这四个数为3，6，12，18或. 法三：设第一个数为a，则第四个数为21－a， 设第二个数为b，则第三个数为18－b， 则这四个数为a，b，18－b，21－a， 由题意得 解得或 故这四个数为3，6，12，18或. 反思领悟　巧设等差数列、等比数列的方法 (1)若三数成等差数列，常设成a－d，a，a＋d.若三数成等比数列，常设成，a，aq或a，aq，aq2. (2)若四个数成等比数列，可设为，a，aq，aq2.若四个正数成等比数列，可设为，aq，aq3. [跟进训练] 1．有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数． [解]　法一：设前三个数依次为a－d，a，a＋d，则第四个数为，由条件得 解得或所以当a＝4，d＝4时，所求四个数为0，4，8，16；当a＝9，d＝－6时，所求四个数为15，9，3，1. 法二：设第一个数为a，则第四个数为16－a， 设第二个数为b，则第三个数为12－b， ∴这四个数为a，b，12－b，16－a， 由题意得 解得或 故所求四个数为0，4，8，16或15，9，3，1. 类型2　等比数列的性质及应用 【例2】　已知{an}为等比数列． (1)若an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5； (2)若an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值． [思路引导]　利用等比数列的性质，整体代换求解． [解]　(1)a2a4＋2a3a5＋a4a6＝＝(a3＋a5)2＝25， ∵an>0，∴a3＋a5>0，∴a3＋a5＝5. (2)根据等比数列的性质，得a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9， ∴a1a2…a9a10＝(a5a6)5＝95， ∴log3a