（讲义）第4章 4.3 4.3.1 第1课时 等比数列的概念及通项公式-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册(人教A版)

4.3　等比数列 4.3.1　等比数列的概念 第1课时　等比数列的概念及通项公式 学习任务 1．借助教材实例理解等比数列、等比中项的概念．(数学抽象) 2．会求等比数列的通项公式，并能利用等比数列的通项公式解决相关的问题．(数学运算) 3．体会等比数列与指数函数的关系．(数学抽象) 4．能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题．(数学运算、数学建模) 我国古代数学著作《孙子算经》中有一个有趣的题目“出门望九堤”：“今有出门望九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色，问各几何？”，这些数字构成了怎样的一个数列呢？就让我们通过今天的学习来解决这个问题吧！ 知识点1　等比数列的概念 文字语言 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0) 符号语言 ＝q(q为常数，q≠0，n∈N*) 等比数列中的任何一项都不能为零，公比可以为正数或负数，但绝对不能为零． 知识点2　等比中项 (1)前提：三个数a，G，b成等比数列． (2)结论：G叫做a，b的等比中项． (3)满足的关系式：G2＝ab． (1)只有同号的两个实数才有等比中项． (2)若两个实数有等比中项，则一定有两个，它们互为相反数． 知识点3　等比数列的通项公式 (1)通项公式 首项为a1，公比为q的等比数列{an}的通项公式为an＝a1qn-1． (2)等比数列与指数函数的关系 等比数列的通项公式可整理为an＝·qn，而y＝·qx(q≠1)是一个不为0的常数与指数函数qx的乘积，从图象上看，表示数列中的各项的点是函数y＝·qx的图象上的孤立点． 已知等比数列的首项和公比，可以求得任意一项．已知a1，n，q，an四个量中的三个，可以求得第四个量． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若一个数列从第2项起每一项与前一项的比为常数，则该数列为等比数列． (　　) (2)等比数列的首项不能为零，但公比可以为零． (　　) (3)常数列一定为等比数列． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)× [提示]　(1)错误，根据等比数列的定义，只有比值为同一个常数时，该数列才是等比数列． (2)错误，当公比为零时，根据等比数列的定义，数列中的项也为零． (3)错误，当常数列不为零数列时，该数列才是等比数列． 2．2＋和2－的等比中项是(　　) A．1 B．－1 C．±1 D．2 C　[设2＋和2－的等比中项为a， 则a2＝(2＋)(2－)＝1，即a＝±1.] 3．已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，则a3＝________. 8　[由an＋1＝2an知{an}为等比数列，q＝2. 又a1＝2， ∴a3＝2×22＝8.] 类型1　等比数列通项公式的基本运算 【例1】　在等比数列{an}中， (1)a4＝2，a7＝8，求an； (2)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n. [解]　设首项为a1，公比为q. (1)因为所以 由得q3＝4，从而q＝，而a1q3＝2， 于是a1＝＝，所以an＝a1qn-1＝． (2)法一：因为 由得q＝，q＝－1(舍去)，从而a1＝32， 又an＝1，∴32×＝1. 即26-n＝20，所以n＝6. 法二：因为a3＋a6＝q(a2＋a5)， 所以q＝. 由a1q＋a1q4＝18，知a1＝32. 由an＝a1qn-1＝1，知n＝6. 反思领悟　关于a1和q的求法的两种方法 (1)通性通法，根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方法． (2)整体代换法，充分利用各项之间的关系，直接求出q或qn整体后，再求a1，最后求an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算． [跟进训练] 1．(源于人教B版教材)已知{an}为等比数列，填写下表． 序号 a1 q n an (1) 3 －2 5 (2) 4 (3) －2 4 －32 (4) 3 5 48 (5) 3 2 24 [解]　 序号 a1 q n an (1) 3 －2 5 48 (2) 4 (3) －2 4 －32 (4) 3 2或－2 5 48 (5) 3 2 4 24 类型2　等比中项及应用 【例2】　(1)若三个数1，2，m成等比数列，则实数m＝(　　) A．8 B．4 C．3 D．2 (2)若1，a，3成等差数列，1，b，4成等比数列，则的值为(　　) A．± B． C．1 D．±1 (3)已知数列{an}是公差不为零的等差数