（讲义）第4章 4.3 4.3.2 第2课时 等比数列前n项和的性质及应用-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册(人教A版)

第2课时　等比数列前n项和的性质及应用 学习任务 1．掌握等比数列前n项和的性质及应用．(数学运算) 2．掌握等差数列与等比数列的综合应用．(数学运算) 远望巍巍塔七层，红灯点点倍加增． 共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？ 解说：这是明朝著名数学家吴敬在《九章算法比类大全》中编写的一道著名诗题．文字优美，读来琅琅上口，算来颇具趣味，题目的意思是有一座高大雄伟的宝塔，共有七层．每层都挂着红红的大灯笼，各层的盏数虽然不知道是多少，但知道从上到下的第二层开始，每层盏数都是上一层盏数的2倍，并知道总共有灯381盏．问：这个宝塔最上面一层有多少盏灯？ 知识点　等比数列前n项和的性质 (1)性质一：若Sn表示数列{an}的前n项和，且Sn＝Aqn－A(Aq≠0，q≠1)，则数列{an}是等比数列． (2)性质二：若数列{an}是公比为q的等比数列，则 ①在等比数列中，若项数为2n(n∈N*)，则＝q． ②在等比数列中，若项数为2n＋1(n∈N*)，则＝q. ③当q≠－1时，Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等比数列，公比是qm． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)等比数列{an}的前n项和Sn不可能等于2n. (　　) (2)若等比数列{an}的前n项和为Sn＝3n＋k，则k＝－1. (　　) [答案]　(1)√　(2)√ 2．已知等比数列{an}中，a1＋a2＋a3＝40，a4＋a5＋a6＝20，则前9项之和等于(　　) A．50 B．70 C．80 D．90 B　[因为等长连续片段的和依然是等比数列，因此可知S3，S6－S3，S9－S6成等比数列，解得前9项的和为70，故选B.] 类型1　等比数列前n项和公式的函数特征应用 【例1】　数列{an}的前n项和Sn＝3n－2.求{an}的通项公式，并判断{an}是不是等比数列． [解]　法一：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n－2)－(3n-1－2)＝2·3n-1. 当n＝1时，a1＝S1＝31－2＝1不适合上式． ∴an＝ 由于a1＝1，a2＝6，a3＝18，显然a1，a2，a3不是等比数列，即{an}不是等比数列． 法二：由等比数列{bn}的公比q≠1时的前n项和Sn＝A·qn＋B满足的条件为A＝－B，对比可知Sn＝3n－2，－2≠－1，故{an}不是等比数列． 反思领悟　(1)已知Sn，通过an＝求通项an，应特别注意n≥2时，an＝Sn－Sn－1. (2)若数列{an}的前n项和Sn＝A(qn－1)，其中A≠0，q≠0且q≠1，则{an}是等比数列． [跟进训练] 1．若{an}是等比数列，且前n项和为Sn＝3n-1＋t，则t＝________． －　[显然q≠1，此时应有Sn＝A(qn－1)，又Sn＝×3n＋t，∴t＝－.] 类型2　等比数列前n项和性质的应用 【例2】　(1)等比数列{an}的前n项和为Sn，S2＝7，S6＝91，则S4为(　　) A．28　　B．32　　C．21　　D．28或－21 (2)等比数列{an}中，公比q＝3，S80＝32，则a2＋a4＋a6＋…＋a80＝________． [思路引导]　(1)探索S2，S4，S6之间的关系，可以直接求出S4；也可以试着用公式，直接解决； (2)尝试用＝q，S奇＋S偶＝S2n求解． (1)A　(2)24　[(1)法一：∵{an}为等比数列， ∴S2，S4－S2，S6－S4也为等比数列， 即7，S4－7，91－S4成等比数列，∴(S4－7)2＝7(91－S4)，解得S4＝28或S4＝－21. ∵S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝a1＋a2＋a1q2＋a2q2 ＝(a1＋a2)(1＋q2)＝S2(1＋q2)>S2，∴S4＝28. 法二：由条件可以看出q≠1，∴S2＝，S4＝，S6＝，∴＝1＋q2＋q4.又S6＝91，S2＝7， ∴q4＋q2－12＝0，即q2＝3.又＝1＋q2. ∴S4＝S2(1＋q2)＝7×(1＋3)＝28. (2)设S1＝a2＋a4＋a6＋…＋a80， S2＝a1＋a3＋a5＋…＋a79.则＝q＝3，即S1＝3S2. 又S1＋S2＝S80＝32，∴S1＝32，解得S1＝24. 即a2＋a4＋a6＋…＋a80＝24.] [母题探究] 1．(变条件，变结论)将例题(1)中的条件“S2＝7，S6＝91”改为“正数等比数列中Sn＝2，S3n＝14”，求S4n的值． [解]　法一：设S2n＝x，S4n＝y，则2，x－2，14－x，y－14成等比数列， 所以 所以或(舍去)，所以S4n＝30. 法二：∵Sn＝2，S3n＝14.∴q≠1. ∴Sn＝，S3n＝ ＝， ∴＝1＋qn＋q2n＝7，∵an＞0，∴qn＝2， 又S4n＝，∴＝(1＋q2n)(1＋qn)． ∴S4n＝Sn(