（讲义）第4章 4.2 4.2.2 第1课时 等差数列的前n项和公式-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册(人教A版)

4.2.2　等差数列的前n项和公式 第1课时　等差数列的前n项和公式 学习任务 1．借助教材实例了解等差数列前n项和公式的推导过程．(数学运算) 2．借助教材掌握a1，an，d，n，Sn的关系．(数学运算) 3．掌握等差数列的前n项和公式、性质及其应用．(数学运算) 为了达到比较好的音响和观赏效果，很多剧场的座位都是排成圆弧形的，如图所示．如果某公司要为一个类似的剧场定做椅子，且中区座位共有8排，第一排有4个座位，后面每一排都比它的前一排多4个座位．你能帮助这个公司算出共需要多少个座位吗？ 知识点1　等差数列的前n项和公式及推导 等差数列的前n项和公式 Sn＝或Sn＝na1＋d 推导方法 倒序相加法 推导过程 设等差数列的前n项分别为a1，a2，a3，…，an－2，an－1，an， Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an－2＋an－1＋an，依等差数列的通项公式，得： Sn＝a1＋(a1＋d)＋(a1＋2d)＋…＋[a1＋(n－1)d].① 再把项的次序反过来，Sn又可以写成： Sn＝an＋(an－d)＋(an－2d)＋…＋[an－(n－1)d].② ①②两边分别相加，得： 2Sn＝(a1＋an)＋(a1＋an)＋…＋(a1＋an)＝n(a1＋an)， ∴Sn＝ 注：等差数列的前n项和的公式是用倒序相加法推导的． 知识点2　等差数列前n项和的性质 (1)等差数列{an}中，其前n项和为Sn，则{an}中连续的n项和构成的数列Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n，…构成等差数列． (2)设两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，则＝. (3)若等差数列{an}的项数为2n，则 S2n＝n(an＋an＋1)， S偶－S奇＝nd，＝. (4)若等差数列{an}的项数为2n－1，则 S偶＝(n－1)an，S奇＝nan， S奇－S偶＝an，＝. 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)数列的前n项和就是指从数列的第1项a1起，一直到第n项an所有项的和． (　　) (2)等差数列{an}的前n项和Sn＝. (　　) (3)等差数列{an}的前n项和Sn都可以写成二次函数Sn＝An2＋Bn.(　　) (4)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列也是等差数列．(　　) (5)在等差数列{an}中，S4，S8，S12，…成等差数列． (　　) [答案]　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√　(5)× [提示]　(1)正确．由前n项和的定义可知正确． (2)正确．由a1＋an＝a2＋an－1可知其正确． (3)错误．当公差为零时，Sn为一次函数． 2．(1)在等差数列{an}中，S10＝120，那么a1＋a10＝______．　 (2)在等差数列{an}中，d＝2，an＝11，Sn＝35，则a1＝________． (1)24　(2)3或－1　[(1)∵S10＝＝120，∴a1＋a10＝24. (2)由题意得a1＋(n－1)×2＝11， ① Sn＝na1＋×2＝35， ② 由①②解得a1＝3或－1.] 3．在等差数列{an}中，其前n项和为Sn，S2＝4，S4＝9，则S6＝________． 15　[由“片段和”的性质，S2，S4－S2，S6－S4成等差数列，也就是4，5，S6－9成等差数列，∴4＋(S6－9)＝2×5，解得S6＝15.] 类型1　等差数列前n项和的有关计算 【例1】　(1)设Sn是等差数列{an}的前n项和．若a1＝－2 021，S6－2S3＝18，则S2 023＝(　　) A．－2 021 B．2 021 C．2 022 D．2 023 (2)(多选)设等差数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)，当首项a1和公差d变化时，若a1＋a8＋a15是定值，则下列各项中为定值的是(　　) A．a7 B．a8 C．S15 D．S16 (1)D　(2)BC　[(1)设等差数列{an}的公差为d. ∵a1＝－2 021，S6－2S3＝18， ∴6a1＋·d－6a1－2×·d＝18， 整理可得9d＝18，解得d＝2. 则S2 023＝2 023×(－2 021)＋×2＝2 023.故选D. (2)由a1＋a15＝2a8，a1＋a8＋a15为定值，可得a8是定值，S15＝×15×(a1＋a15)＝15a8，故S15为定值，故选BC.] 反思领悟　等差数列中基本计算的两个技巧 (1)利用基本量求值． (2)利用等差数列的性质解题． [跟进训练] 1．(源于人教B版教材)(1)已知等差数列{an}的公差为2，且a20＝29，求这个等差数列前20项的和S20. (2)求等差数列5，12，19，26，…，201，208的各项之和． [解]　(1)由等差数列的通项公式可得29＝a1＋